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der angedeuteten Interpretation des Imaginären beigetragen, an der Möglichkeit gezweifelt, Punkte und Strecken im Raume in dem genannten Sinne algebraisch darstellen zu können,— und er hatte in seinen Bedenken in so weit recht, als es in der That bis jetzt nicht gelungen ist, Aus- drücke für räumliche Strecken zu finden, mit denen ganz so gerechnet würde, wie mit reellen Zahlen, oder auch mit den Argand'schen Komplexen der Ebene— doch ist von drei Männern mit Erfolg der Versuch gemacht worden, Ausdrücke für Raumesvektoren aufzustellen, von Hamilton, Grassmann und Scheffler. Ihnen voraus geht allerdings Möbius, der in seinem 1827 veröffent- lichten„Barycentrischen Kalkul“ und in seiner Mechanik(1843) bereits vielfach eine Methode ver- wendet, wobei Strecken mit ihrer Richtung in Rechnung gezogen werden; doch hat er in seinen bahnbrechenden, scharfsinnigen und geistreichen Theorien, die sich oft auf dem Grenzgebiet zwischen Geometrie und Arithmetik bewegen, nirgend eine Zusammenfassung vorgenommen, um die Strecken vollständig mit Zahlausdrücken neuer Art zu identificieren. Hankel's Arbeiten auf diesem Ge- biete sind nur Entwickelungen der Vorarbeiten von Möbius und Grassmann, und die von dem Verfasser dieser Zeilen versuchte Darstellung von Punkten und Strecken im Raume mittelst longimetrischer und reeller Biquaternionen kann nur als Weiterbildung Hamilton'scher Arbeiten betrachtet werden.

Hamilton, Grassmann und Scheffler haben ihre Untersuchungen unabhängig von einander geführt. Es geht dies aus dem Inhalte ihrer Hauptwerke und der Verschiedenheit der Behandlung des Stoffes hervor, aber auch daraus, daſs die ersten Veröffentlichungen ihrer Arbeiten nahezu in derselben Zeit erfolgten.

Die für Hamilton so charakteristischen Werte i, j, k(oder in, is, ig) sind zuerst ausführ- lich besprochen in einer Mitteilung an die Akademie in Dublin aus dem Jahre 1843. Hierher ein- schlagende Untersuchungen führte aber derselbe Gelehrte, wie die Veröffentlichungen der genannten Akademie ergeben, und wie er auch in anderen Schriften sagt, seit 1830. Seine zwei grolsen Werke, die„Lectures on Quaternions“ und seine„Elements of Quaternions“ erschienen 1853 und 1866. Grassmann gab 1844 die erste und 1862 die zweite Auflage seiner„Ausdehnungslehre“ heraus. Scheffler's Hauptwerke über den vorliegenden Gegenstand sind:„Uber das Verhält- nis der Arithmetik zur Geometrie“, 1846, der„Situationskalkul“, 1852, sowie endlich die„Poly- dimensionalen Gröſsen“, 1880. Dazwischen erschien ein gröſseres Werk in drei Bänden,„die Naturgesetze“, worin er seine theoretischen Ansichten über Raumzahlen erweitert vorführt und auf Raum, Zeit, die Natur etc. ausdehnt.

§. 2. Die Addition und Subtraction der Strecken.

1.— Bei dem Forschen nach Raumzahlen wurde zur Addition von Strecken ein Verfahren benutzt, das schon Argand 1806 in die Geometrie einführte, und das wir daher hier kurz er- wähnen wollen. Während man gleich gerichtete Strecken einfach durch Aneinanderlegen summiert, hat man die Summe zweier Längen a und b von verschiedener Richtung als die dritte Seite c des Dreiecks definiert, das man erhält, wenn man mit Beibehaltung der Richtungen b an a anträgt; ähnlich erlangt man die Differenz a— b. Man addiert und subtrahiert also Strecken ganz so, wie man Kräfte oder Geschwindigkeiten zusammensetzt, die unter verschiedenen Richtungen auf einen