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während doch schon Euler die Bemerkung machte, daſs die Hauptschwierigkeiten in den meisten Fällen vor Beginn der Rechnung zu überwinden seien. Dennoch mag in dem oben angedeu- teten Gegensatze mit eine Veranlassung dazu liegen, daſs man vielfach versucht hat, geometrische Aufgaben auf arithmetische zurückzuführen. Insofern nun hierbei nur quantitative Verschieden- heiten zum Ausdruck gebracht werden sollten, konnte die Arithmetik ohne allzu grolse Schwierig- keiten eingreifen; Eigenschaften der Lage und Richtung aber, die ja den räumlichen Gebilden ganz eigentümlich sind, vermochte man ursprünglich nur auf Umwegen der Rechnung zu unter- werfen.

2.— Wie wir in der Abhandlung über den„Winkel als Grundlage etc.“ gezeigt haben, so wurde ein erster Schritt, Lagebeziehungen algebraisch auszudrücken, dadurch gemacht, daſs man negative geometrische Werte einführte. Im Gegensatze zu der Strecke+ a bedeutete— a eine Länge, die von demselbeu Anfangspunkte wie+a, aber in entgegengesetzter Richtung ab- getragen wurde. Aehnliches gilt von den Winkeln. Hierbei unterstützten Algebra und Geometrie einander gegenseitig, indem letztere gerade durch die Verwendung negativer Gröſsen der ersteren die Zulässigkeit negativer Zahlen anschaulich zu machen wuſste, während man anfangs negative Rechnungswerte mit dem Namen falscher Wurzeln bezeichnete und dieselben als unbrauchbar betrach- tete. Was man aber ursprünglich als widerspruchsvoll ansah, das wird heute als selbstverständlich aufgefalst, so hier wie auf anderen Gebieten.

3.— Eine weitere Schwierigkeit auf arithmetischem Felde war die Quadratwurzel aus negativen Zahlen. Diese sogenannten imaginären Werte wurden anfangs als eine Art Hilfsgröſsen zugelassen, die man bedurfte, einerseits um gewisse Sätze ganz allgemein aussprechen zu können, so den Satz von der Anzahl der Wurzeln einer algebraischen Gleichung, andererseits auch zur Führung von Beweisen und zur Ableitung von Sätzen. Eine weitere Deutung fanden die imagi- nären Werte zuerst nicht; nachdem sie ihre mehr theoretischen Dienste gethan, suchte man ihnen auszuweichen. Dals aber V— 1 als etwas recht Bedenkliches und Unklares den übrigen Zahlen gegenüber erschien, beweisen die Stellen aus den Werken höchst angesehener Schriftsteller, namentlich französischer, bis in die Mitte dieses Jahrhunderts hin. Und doch war schon 1806 eine kleine Broschüre von Argand erschienen, worin V-— I als ein Drehfaktor aufgefalst wird, so daſs a V— 1 eine Länge a(oder auch deren Endpunkt) bedeutet, die aber auf der Richtung von+ a senkrecht steht. Der Ausdruck a+ bV— 1 stellt dagegen den Endpunkt von b dar, wenn letztere Strecke in dem zweiten Endpunkte von a senkrecht auf a gestellt ist; zugleich falst Argand schon a † bV— 1 als die Strecke von der Länge Va* † b⸗ auf, die von dem An- fange des a zum Endpunkte von b gezogen ist, d. h. die Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten a und b.

Mit dieser Deutung des Imaginären und mit Einführung sogenannter„gerichteter“ Strecken gelang es, geometrische und mechanische Aufgaben in neuer Weise auf rechnendem Wege zu lösen; doch war man dabei noch an Strecken derselben Ebene gebunden.

4.— Wenn auf irgend einem Feld, so sucht man auf mathematischem Untersuchungen, die für ein beschränktes Gebiet gelten, zu verallgemeinern. Daher drängte sich, nachdem es gelungen war, Punkte derselben Graden durch positive und negative Strecken, Punkte und Strecken derselben Ebene aber durch Ausdrücke von der Form XyV— 1 darzustellen, ganz natürlich den Mathematikern das Problem auf, Ausdrücke zu finden für Punkte und Strecken des drei- dimensionalen Raumes. Freilich hatte Gauss, der durch seine Autorität viel zu der Annahme

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