2

dafs damit auch die Bedenken hinfällig werden, welche sich gegen diesen Zweig mathematischen Wissens deshalb richten, weil die Raumzahlen einem unberechtigten Analogieschlusse ihre Ent- stehung verdanken sollen.

2.— Eine scheinbar viel ernstere Verurteilung hat die Lehre von den Quaternionen und damit auch des Verfassers Abhandlung:„Ueber den Winkel als Grundlage mathematischer Unter- suchungen“ erlitten durch das jüngst veröffentlichte kleine Buch des Herrn Baurats Dr. H. Scheffler in Braunschweig, die„Polydimensionalen Gröfsen“. Es werden in§ 2 der Ein- leitung dieses Werkes die Quaternionen als ein merkwürdiger Irrtum hingestellt, und zwar nicht etwa in ihren Anwendungen,— denn diese sollen sonderbarer Weise vielfach richtig sein— sondern vorwiegend gerade in ihren Grundlagen..

Wir würden der Festigkeit des Baues der Quaternionentheorie es überlassen, den Ansturm des Herrn Dr. Scheffler auszuhalten, wenn die von uns 1876 veröffentlichte„Theorie der goniometrischen und der longimetrischen Quaternionen“ nicht in den„Polydimensionalen Gröſsen“ vielfach mit Ausrufen des Staunens etc. citiert worden wäre. Dies nötigt den Verfasser für das angefochtene wissenschaftliche Recht des in Rede stehenden Gegenstandes einzutreten. Indem wir uns dabei streng an die Sache halten, werden wir im Folgenden die Richtigkeit der angegriffenen Formeln nachweisen, Formeln, aus denen man freilich durchaus nicht machen kann, was man will, obschon dies Herr Scheffler behauptet, die aber, unrichtig verwendet, wie man in den „Polydimensionalen Gröſsen“ sieht, unrichtige Resultate ergeben.

Hoffentlich wird es uns gelingen, dem unbefangenen Leser die Theorie der Quaternionen allen jenen Angriffen gegenüber als vollständig unerschüttert, nachzuweisen. Damit aber der Be- weis für die Richtigkeit des nicht uninteressanten Verfahrens dieser Rechnung mit Vektoren auch dem Nichtfachmann klar werde, bedarf es einer kurzen Vorführung der grundlegenden Be- trachtungen ihrer Methode, woran sich die Begründung der angezweifelten Formeln ungezwungen anschlieſsen wird. Dabei darf der Verfasser mit Hankel versichern, daſs zum Verständnis der Theorie der Quaternionen und der nachstehenden Erörterungen weit weniger ausgedehntes mathe- matisches Wissen nötig ist, als eine gewisse Empfänglichkeit und Vorurteilslosigkeit in der Auf- fassung einfacher, wenn auch von dem Herkömmlichen zuweilen abweichender Betrachtungen.

§. 1.

Uber Raumzahlen überhaupt.

1.— Den Untersuchungen auf rechnendem Gebiete gegenüber bietet die Lösung geometrischer Aufgaben auf konstruierendem Wege oft dadurch Schwierigkeit, dals der Neuling nicht weils, wie er in der Bearbeitung einer Aufgabe zu einem gedeihlichen Anfange kommen soll, während arith- metische Fragen sich häufig sofort nach allgemeinen Regeln lösen lassen, um dann freilich, falls sie sich auf räumliche Untersuchungen beziehen, in ihren Rechnungsergebnissen der Konstruktion, d. h. der Übertragung auf das Geometrische, häufig nicht geringe Schwierigkeiten zu bieten. Dieser Gegensatz ist vielfach ein mehr scheinbarer als ein wirklicher, namentlich nachdem die Geometrie auch allgemeinere Verfahrungsweisen eingeführt hat. Es kann wohl auch die Täuschung unterlaufen, dals man den einen Weg deshalb für leichter hält, weil bei der rechnenden Methode, nach einmal erlangtem Ansatze, die auszuführende Rechnung oft nach bestimmten Vorschriften verläuft,