Iher die Grundlagen der Rechnung mit Guaternienen.

Von

Professor W. Unverzagt.

1.— Als der Verfasser dieser kleinen Arbeit vor drei Jahren im Programm der Anstalt eine Erweiterung der Rechnung mit Quaternionen erörterte, indem er den Untersuchungen nicht Strecken, sondern Winkel zu Grunde legte, empfand er wohl Bedenken darüber, ob die Ausdehnung des genannten Gebictes nicht etwa Angriffe in dem Sinne erleiden würde, daſs man entweder die Ergebnisse seiner Arbeit als unrichtig, oder die Untersuchung selbst als nutzlos hinzustellen versuchen könnte. Nichts von dem Befürchteten ist eingetreten. Neben anerkennenden Be- urteilungen in drei Zeitschriften und in dem jüngst erschienenen interessanten Werke des Herrn Dr. Günther über„Hyperbelfunctionen“, findet sich dagegen in dem Archive für Mathematik und Physik eine Erwähnung der Arbeit, wobei nicht nur dieser selbst, weil sie auf unberechtigten Analogieschlüssen beruhe und nur durch den Hinweis auf die Lösung zukünftiger Probleme Wert besitze, sondern mit ihr auch der ganzen Lehre von den Quaternionen aus ähnlichen Gründen kurzweg jede Berechtigung abgesprochen wird.

Die Frage nach dem Nutzen irgend einer neuen Untersuchungsweise wird immer aufzuwerfen sein und hat gewiſs ihre Berechtigung. Im vorliegenden Falle aber hat die Antwort auf die angedeuteten Bedenken des Herrn Professor Hoppe schon Hamilton, der Begründer der Qua- ternionenlehre, im Jahre 1855 in einem Briefe gegeben, der sich abgedruckt findet in Nichol's Physical Sciences pag. 808 u. ff. Dort weist der Dubliner Astronom auf die Leichtigkeit hin, mit der seine Methode Aufgaben aus allen Gepieten der theoretischen und der angewandten Mathe- matik löse, zeigt dann aber auch, wie sie zu neuen Problemen und deren Bearbeitung hinleite, so 2. B. zu der Aufgabe, einer Fläche zweiter Ordnung ein(windschiefes) n Eck einzuschreiben, dessen Seiten durch n gegebene Punkte gehen sollen, eine Frage, die vorher in modificierter Porm von Pomcelet nur für einen Kegelschnitt gelöst worden war. Mit gerechtfertigter Befriedigung bemerkt Hamilton an derselben Stelle, wie in der einfachen Formel aus der Quaternionenlehre

§.(r. 4)= E. r). q eine ganze Reihe von Sätzen für sphärische Kegelschnitte, nebst entsprechenden Theoremen für ebene Figuren enthalten seien, und zwar lauter geometrische Wahrheiten, die vor ihm noch nicht ausgesprochen worden waren. Ueberdies kann man auf die Einwürfe des gelehrten Berliner Mathematikers noch mit der Gegenfrage antworten, wie viel neue geometrische Sätze denn die Geometrie des Cartesius enthalten habe, auf die sich doch unsere analytische Geometrie gründet. Die Quaternionentheorie ist aber nur eine Erweiterung der Auffassung des Cartesius und hat in den Arbeiten der englischen Mathematiker bereits eine solche Ausbildung erreicht, 1