— 10—
und wenn wir allgemein cos m. i= i cos(— m) setzen: a b(cos(b+ b a)+ i sin b a. cos b+ i cos— b a. sin b) a b(cos(b+ b a)+† i sin(b+ b a)) * G b)(b b a) Zur Erlangung dieses Resultates machten wir zwei willkürliche Annahmen. Zu- erst haben wir angenommen, dass, um aa mit b zu multipliciren, wir nicht bloss a,
1l
sondern auch a zu vervielfachen hätten, eine Annahme, die ohne Bedenken ist, und die bei consequenter Durchführung nicht auf Widersprüche führt. Grösseren Anstand erregt die im Lauf der Entwicklung gemachte Annahme, dass(cos m) i= i cos(— m) sei. Wenn wir auch durch die vorausgegangene geometrische Ermittelung des Productes schon darauf gefasst sein mussten, dass beim Umtausch von Factoren der vorliegenden Art eine Abweichung von den Regeln der Arithmetik für reelle Factoren eintreten müsse, so hat doch die Annahme, dass cos m. i= i cos— m das Miss- liche, dass eine Anwendung dieses Principes auf sin m. i zu Widersprüchen führt. Es ist nämlich sinm. i=(1— cos m) i= 1— cosm. 1= 1i— i cos(— m) = 1(1— cos(— m))= i sin(— m)=— i sin m,
ein Resultat, welches wir mit der oben stehenden Entwicklung nicht in Einklang bringen können.
Ob es überhaupt gelingt, mit Hilfe arithmetischer Operationen, welche sich möglich viel an die gebräuchlichen Rechnungsmethoden anschliessen, obige durch geometrische Betrachtung erlangten Producte aus den Factoren abzuleiten, muss der Verfasser dahin gestellt sein lassen. Vielleicht muss das Product der Strecken anders definirt werden, vielleicht auch das distributive Princip eine Abänderung erleiden. Die Sache hat den Verfasser in der letzten Zeit stark beschäftigt und.... gequält, und er hat dieses nicht abgeschlossene Kapitel nur hier mitgetheilt, um vielleicht Andere zu glück- licherer Forschung zu veranlassen.
§. 2. Bestimmung der Lage einer Geraden mit Hilfe paralleler Axen.
1.— Zieht man durch zwei feste Puncte ro und yo, deren Abstand e heisse, zwei parallele Geraden, die wir die Axen nennen wollen, während die durch xo und yo be- stimmte Gerade den Namen der Grund- oder Mittellinie des Coordinatensystems führen möge, so ist jede Gerade m in der Ebene der Axen ihrer Lage nach bestimmt qdurch die auf den Axen bestimmten Schnittpuncte x und y. Da diese Puncte selbst durch ihre Abstände von ro und yd fest gelegt sind, so werden wir diese mit x und y be- zeichneten Strecken die Coordinaten der Geraden m nennen. Zugleich möge auf der Geraden xo yo die Richtung von xo nach yo als die positive gelten und die Coordinaten