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mit km, 8o ist es ein Leichtes, zwei solcher Strecken zu addiren. Es ist nämlich km+f n= k(cos m+. i sin m)+ 1(cosen+† i sin n) km †ln kam Pln d h 4 8c lain n knn]=A.y etn

d. h. die Summe paralleler Strecken ist gleich einer Strecke, deren Modulus gleich der Summe der Modulen der Summanden ist, deren Stelle aber den Abstand der Stellen der Summanden im umgekehrten Verhältniss der Modulen theilt.

Leicht ersichtlich ist die Identität dieser Streckensummation mit der Zusammen- setzung paralleler Kräfte.

10.— Es liegt nahe, nach dem Versuche einer Addition paralleler Strecken auch den der Multiplication zu unternehmen. Verstehen wir nun unter dem Producte zweier paralleler Strecken

aa. bo— Ce die Strecke ce, welche ebenso aus bo entsteht, wie= aa aus 10, so lässt sich ce zwar leicht mit Hilfe ähnlicher Trapeze construiren(Fig. 4), und zwar ist 6= a4. b und c= b+ baa;

allein es ergiebt sich auch sofort, dass für ein solches Product der Satz über die Ver- tauschbarkeit der Factoren nicht mehr allgemein gilt. Es ist nämlich

2un be=(u b)(b. bg) (Eb)(. 9)

und hierin sind die Stellenzeiger nur für besondere Fälle einander gleich. Vrgl. Fig. 4 u. 5. Versucht man nun aus den von uns für aa und bo gegebenen reducirten Aus- drücken durch Rechnung zu den eben erlangten Producten zu kommen, so führt eine Benutzung der gewöhnlichen Regeln der Arithmetik nicht zu dem gewünschten Resultate. Denn das Product aa. bb= a.(cos a+ i sin a). b(cos b+ i sin b) ergiebt nach den bekannten Multiplicationsregeln a. b.(cos(a+ b)+ i Gin a cos b+ cos a sin b)). Hierin ist aber der letzte Theil nicht sin(a+ b), wofür wir früher sin a cos(— b)+ cos a sin b gefunden haben, der ganze Ausdruck aber auch nicht gleich einem der oben gegebenen Resultate. Weichen wir dagegen bei dieser Multiplication von den herkömmlichen Regeln der Arithmetik so ab, dass wir das durch geometrische Betrachtung gefundene Product erlangen, ein Weg, der nach dem Vorgang der englischen Mathematiker nicht mehr ganz neu ist, so müssten wir etwa so schliessen: aa. bb a(cos a+ i sin a) b(cos b+ i sin b) a b(cos b a+ i sin b a)(cos b+ i sin b) a b.(cos b a. cos b— sin b a. sin b+ i sin b a. cos b

+ cos b a. i sin b) = a b(cos(b+ b a)+ i sin b a. cos b+ cos ba. i sin b), 2

bo aa—

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