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à 1b=A h(B.

Setzen wir hierin

2— 1= cos m, so ist b zim m a+ b 4

und wir haben a P i b=(a+ b)(cos m ⸗ i sin m).

Es ist also ein Leichtes, jeden complexen Ausdruck in einen reducirten mit lon- gimetrischen Functionen zu verwandeln.

Der Modulus der neuen Form ist die Summe des reellen und imaginären Coeffi- cienten, dagegen

tangm=—. a Hieraus folgt, dass ein Aggregat complexer Ausdrücke a1+ 1 b+. ag+†f 1 bz++ aa † 1 ba= 2 2+ i 2 b— =(cos m+ i sin m)(a+ b), . 2 b worin tgm— Als Summe reducirter Ausdrücke erhält man ki(cos mi+ i sin m.)+ ke(cos me+ i sin me) —(X m.*. ke m) 1 (k+ 1] cos k. i i+ i sin

9.— Bei der vielfachen Uebereinstimmung der longimetrischen Formeln mit denen der Goniometrie ist wohl auch die Frage nach einer geometrischen Deutung des Aus- druckes Xx+ i y gerechtfertigt*). Denkt man sich in den Endpuncten der Strecke x y, deren Länge gleich der Einheit sei, Senkrechte errichtet und x auf der in x, y auf der in y errichteten Senkrechten abgetragen, so kann man

X X+ i y

als den Ausdruck für eine Strecke von der Länge X+‿ y betrachten, welche auf x ysenk- recht steht und die Strecke xy im Verhältniss von y: X theilt. Schreibt man dann

X Tiy=+ y)(cosm+ 1 sin m), worin die Lage von m durch tgm= Sbestimmt

ist, so stellt also cosm+ i sin m einen Factor an der Strecke x+ y dar, welcher die Stelle angibt, wo diese Strecke senkrecht zu x y steht. Man kann daher cos m+i sin m den Stellenfactor der Strecke x+ y nennen. Bezeichnen wir nun eine solche Strecke

X Tiy= △+ y)(cos m+ i sin m)

*¹) Zum Verständniss des Späteren ist der Inhalt von 9 und 10 nicht nöthig.