und hieraus cos ²= sin), daher cos„4+ cos„²*— 1= 0, woraus wir erhalten

=s cos 2—=— 2 Von diesen beiden Werthen liefert nur der erstere zwei reelle y. Der zweite dagegen gibt imaginäre Werthe von„. Da aber cos 7²= cos c gesetzt werden . 1+ ⸗ 3 kann, so ist cos c=— 2 und diess liefert, unter der Voraussetzung dass a b= 1 ist, einen Punct im Abstand ½+ ½ 7 5 von b, also ½+ ½ 7 5 von a.

Welche Bedeutung kommt nun aber diesem Puncte nach unsrer Aufgabe zu? Durch Einsctzen überzeugt man sich leicht, dass

sin a b sin cb= sin cb sin a c, oder 1: cos c= cos c: sin c, nämlich 1:— ½(1+ 7/ 5)=— ½(1+ 7/5): ½(3+ 7 5),

d. h. einer imaginären Lösung einer Aufgabe in Beziehung auf Winkel entspricht hier die reelle Lösung zu der ganz gleichlautenden, aber longimetrischen Aufgabe.

Probleme ähnlicher Art ergeben sich durch andere Theilung des rechten Winkels, z. B. so, dass der Unterschied der Quadrate der Sinus gleich einer Constanten wird.

Eigenthümlich ist es, dass obige goniometrische Aufgabe die longimetrische mit umfasst, nicht aber die leztere direct die erstere, wie man findet, wenn man von der Gleichung

1: cos c-= cos e sin c ausgeht, man müsste denn geradezu in dieser Gleichung die longimetrischen Functionen durech die gleichen goniometrischen Werthe, d. h. durch cos y ², resp. sin„² ersetzen. Eine Erklärung dieser Erscheinung wird sich wol dadurch ergeben, dass die longi- metrischen Functionen als eine Art Grenzfall der goniometrischen aufgefasst werden können, daher die Lösungen einer Aufgabe in letzteren die Lösung der entsprechen- den Aufgabe für erstere umfassen muss, aber nicht umgekehrt.

Dass aber die longimetrischen Functionen gerade die imaginären Lösungen gonio- metrischer Aufgaben in eine reelle Form umsetzen, hat vielleicht seinen Grund darin, dass, während bei Winkelfunctionen es sich um Streckenquotienten handelt, deren Glieder(zum Theil wenigstens) senkrecht aufeinander stehen, bei den longimetrischen Func- tionen nur Streckenquotienten vorkommen, deren Glieder in derselben Geraden liegen, Ein solcher Wechsel in der Lage von Strecken ist aber nach der Theorie des Imagi-

nären durch das Auftreten des Factors 1— 1 angedeutet.

8.— Wir wollen schliesslich noch einen Blick werfen auf complexe Ausdrücke und dieselben mit Hilfe der longimetrischen Functionen in reducirte Formen verwandeln. Es ist