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cd eeceb⸗ aod 9. a b d ab alb⸗ob ab ab

Setzt man diese Quotienten in die von uns angenommene Bezeichnung um, so hat man geradezu den Satz für den Sinus des Abstandes zweier Puncte, ausgedrückt durch die Functionen der Abstände dieser Puncte von zwei anderen Puncten.

6.— Eine weitere Bezichung der longimetrischen Functionen zu den goniometri- schen, mit welchen sie eine so grosse Uebereinstimmung zeigen, ergibt sich durch folgende Betrachtung.

Der longimetrischen Gleichung

sin c f cos c-= 1 entspricht in der Goniometrie die Relation sin*+ cos)*= 1.

Setzen wir nun sin„*= sin c, daher siny=* Sin c, so ist auch cos)=+) cos c, und ferner tg= 4 Vtg c etc.

Den Winkel y kann man aber leicht construiren. Beschreibt man nämlich(Fig. 2) über ab als Durchmesser einen Kreis, errichtet in c das Loth ccz auf dem Durchmesser bis zur Peripherie und verbindet ca mit b, so ist Winkel a b ca der Winkel y.

Denn es ist

4ad a cz a h

Da die Quadrate der Functionen der Winkel an dem Puncte b gleich den gleich- namigen longimetrischen Functionen sind, die sich durch Theilung des Durchmessers er- geben, so entspricht jedem Winkel ein reeller innerer Theilpunct der Strecke a b. Nicht aber ergiebt jeder Theilpunct der Strecke einen reellen Winkel. Zu den ausser- halb ab gelegenen Punctenc gehören nämlich theilweise longimetrische Functionen mit negativen Vorzeichen, und diesen entsprechen dann imaginäre Winkel.

Die sämmtlichen Sätze, die für goniometrische Functionen gelten, lassen daher auch eine Ausdrucksweise mittelst der Wurzeln aus longimetrischen Functionen zu, bei denen besonders dann eine Vereinfachung eintritt, wenn in der ursprünglichen Formel Quadrate vorkommen.

7.— Wir wollen an einer Aufgabe zeigen, wie die longimetrischen Functionen gewissen imaginären Lösungen von Aufgaben über Winkel eine reelle Bedeutung verschaffen können.

Der bekannten Aufgabe der Theilung einer Strecke nach dem goldenen Schnitt kann man folgende über die Theilung des rechten Winkels gegenüber stellen. Es soll der rechte Winkel so getheilt werden, dass der Sinus des Rechten sich verhält zum Sinus des grösseren Theiles, wie dieser letztere Sinus zum Sinus des kleineren Theiles. Der rechte Winkel sei am Puncte b gelegen. Nennen wir den kleineren(in der Figur an b a liegenden) Theil-y, so haben wir der Bedingung gemäss

sin 90: sin(90— y)= sin(90—„): sin y, oder 1: cos= eos y sin»,