— 1=—

und(sin ꝙ&.+. cos)= 1,

je nachdem k= 0 oder gleich 1 gesetzt wird. Diess sind aber Grundgleichungen der goniometrischen, beziehungsweise der longimetrischen Functionen, welche beide mithin als besondere Fälle der oben definirten allgemeinen Winkelfunctionen erscheinen.

4.— Die longimetrischen Functionen sind Quotienten von Strecken, mithin unbe- nannte Zahlen, von denen, falls a b(Fig. 2) gleich der Längeneinheit ist, der Sinus durch ac, der Cosinus durch cb nach Grösse und Vorzeichen dargestellt werden. Auch die übrigen Functionen lassen in diesem Falle eine einfache geometrische Dar- stellung zu. Errichtet man nämlich in a, b und c Lothe auf die Gerade ab, schneidet auf dem in c errichteten Lothe die Stücke cci= ac und cca= cb ab, zieht sodann a ca und bci bis zu den Schnitten bi und a mit den in b und a errichteten Lothen, so ist

tang c= a al,

cot c= b bi,

sec c= aa b,

cosec e= a ba, wobei auf der Geraden ab die Puncte a und be dadurch bestimmt sind, dass adæ= aau und b b= b b genommen wurde.

Bei der Herleitung goniometrischer Functionen eines Winkels ist es gleichgiltig, wo auf dem zweiten Schenkel der Punct angenommen wird, von dem das Loth auf den ersten gefällt wird. Etwas Analoges lässt sich für die longimetrischen Functionen dadurch erzielen, dass man durch a, b und c drei zu a b senkrechte oder einer belie- bigen Richtung parallele Geraden zieht. Dann ergeben die in entsprechender Weise durch Division verbundenen Stücke einer jeden Transversale, die man durch dieses System der drei Parallellen ziehen kann, die oben näher definirten longimetrischen Functionen. Heissen diese Parallelen a, bundc, so werden wir auch zuweilen sin(ac b) oder sin(ac) schreiben, eine Bezeichnung, die dann goniometrische und longimetrische Functionen umfasst und letztere direct als eine Art Grenzfall der Winkelfunctionen, die wir Streifenfunctionen nennen könnten, erscheinen lässt.

Schliesslich sei noch bemerkt, dass longimetrische Functionen überall da in An- wendung kommen können, wo es sich um die Verhältnisse zwischen den Stücken eines in zwei Theile getheilten Ganzen handelt, auf welche sich die Gleichung

a c⸗cb= ab in ihrer Allgemeinheit anwenden lässt— z. B. auf Kreisbogen und Winkel direct.

5.— Der Zusammenhang unter den longimetrischen Functionen erhellt aus folgenden Gleichungen, die sich ergeben, wenn man die vorstehende Grundgleichung der Reihe nach durch ihre einzelnen Glieder dividirt.

sin c+ cos c= 1,

1+ tg c= sec ec,

1+ cot c= cosec c. Diese 3 Gleichungen, in Verbindung mit