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Functionen longimetrische Functionen heissen. Einer Verwechslung dieser beiden Arten Functionen kann man dadurch vorbeugen, dass man Winkel immer mit einem griechischen Buchstaben, oder mit zwei kleinen lateinischen, den Namen der Schenkel, bezeichnet, während man Strecken mit zwei deutschen Buchstaben, den Namen der Endpunkte, wohl auch, bei festem Anfang der Strecke, mit dem am zweiten End- puncte stehenden einen deutschen Buchstaben bezeichnet. Die Benutzung eines kleinen lateinischen Buchstaben für eine Strecke ist natürlich auch nicht ausgeschlossen.

3.— Die Unbestimmtheit, welche den longimetrischen Functionen einer Strecke ac dadurch anhaftet, dass in Bezug auf a b keine feste Betimmung getroffen ist, würde dadurch wegfallen, dass man ab ein für alle Mal gleich der Längeneinheit setzte. Die goniometrischen Functionen sind übrigens von dieser Vieldeutigkeit auch nur da- durch frei, dass der rechte Winkel als Mass der Winkel fest steht. Die goniometri- schen Funktionen des Winkels a c(Pig. 1.) sind nämlich in allgemeinster Fassung Quo- tienten aus den Streken, die man erhält, wenn man die Schenkel des Winkels durch- eine Transversale schneidet. So lange nun nicht eine Bestimmung getroffen ist, unter welchem Winkel die Transversale gegen den ersten Schenkel des Winkels a c gezo- gen werden soll, sind die Functionen unbestimmt und werden erst zu Zahlwerthen, die den Winkel seiner Grösse nach charakterisiren, wenn man weiss, unter welchem Winkel ab die Transversalen zu ziehen sind. Ist dieser Winkel a b bestimmt, dann ist sin ac in Bezug auf den Winkel a b der Quotient aus der Strecke zwischen den Geraden a c dividirt durch die Strecke zwischen den Geraden a b, was ausge- drückt werden könnte durch

und damit wäre die Analogie zwischen dem longimetrischen und goniometrischen Sinus vollständig nachgewiesen. Statt nun aber die goniometrischen Functionen in dieser Allgemeinheit, aber auch Unbestimmtheit, zu lassen, hat man die Transversale senk- recht zu dem Schenkel a angenommen und hat nun allerdings nicht nöthig sin a c b zu schreiben, sondern reicht mit sin a c vollständig aus. Uebrigens kann man es versuchen eine Goniometrie aufzustellen, wenn die Transversalen z. B. unter 60° gegen den ersten Schenkel der Winkel gezogen sind. Wenn man dann die Sinus und Cosinus entsprechend wie früher definirt, so besteht jetzt folgende Gleichung zwischen diesen bei- den Functionen: sin&ν+ cos&+ sin cos= 1 und allgemein sin ²+‿ cos?+ 2 sin. cos.. k= 1, wobei k der Cosinus des Winkels ist(in der herkömmlichen Bedeutung dieses Wortes), unter welchem die Transversalen gegen den ersten Winkelschenkel gezogen werden, Die letztere Gleichung ergiebt

sin&*+ cos 2= 1