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Ebene hiermit ab, obschon wir leicht einige andre hinzufügen könnten, die sich ergeben, wenn man zur Bildebene noch feste, ausserhalb liegende Centralpunkte, oder auch eine zu P senkrechte Centralaxe hinzunimmt.

Bemerken wollen wir noch, dass sich Punkt, Gerade und Ebene auch sehr ein- fach auf eine Kugelfläche projiciren lassen. Eine Gerade ist z. B. unzweideutig fest- gelegt durch ihre beiden Durchstichspunkte mit der Kugelfläche, oder durch die Be- rührungspunkte der beiden Tangentialebenen, die man durch die Gerade legen kann. Je zwei Punkte auf der Kugelfläche legen also eine Gerade fest, und leicht ist es nun, dieselben auch als Projection eines Punktes und einer Ebene nachzuweisen, wenn vielleicht auch in diesen Fällen besser der kleinste durch die beiden Punkte bestimmte Kugelkreis als Projection betrachtet würde.

Einführung neuer Elemente.

§. 12.

1. Statt des Punktes, der Geraden und der Ebene lassen sich leicht Curven und ge- krümmte Flächen als Elemente räumlicher Gebilde einführen. Allgemein ist eine Curve im Raume bestimmt, wenn man eine hinreichende Anzahl ihrer Punkte angeben kann. So wird z. B. ein Kegelschnitt festgelegt sein durch Angabe von fünf seiner Punkte. Da diese Punkte sämmtlich in einer Ebene sind, so könnte die Lage der- selben dadurch fixirt werden, dass man diese Ebene durch zwei Punkte mo m be- stimmte und dann von den fünf Punkten nur ihre Fusspunkte as, bi, ci, di, ei, an- gäbe. Eine continuirliche Folge solcher Kegelschnitte, d. h. eine Fläche würde sich dann in 7 Curven projiciren, eine Zahl, die sich aber in bestimmten Fällen noch ver- mindern wird.

Ein Kreis lässt sich durch vier Punkte projiciren, von denen mo und mi die Ebene desselben festlegen, während au ba die Projection des der Spur jener Ebene parallelen Durchmessers ist. Eine Folge von Kreisen ergiebt also vier Curven.

Ebenso liesse sich eine Ellipse bestimmt denken durch Angabe ihrer Ebene, was zwei Punkte erfordern würde, und durch drei Punkte o3i, pi, qi, die Normalpro- jectionen des Mittelpunktes und der Endpunkte zweier conjugirten Halbmesser der Ellipse. Handelt es sich dann um eine stetige Folge solcher Ellipsen, so werden dieselben sich durch fünf Curven projicirt finden. Dasselbe gilt auch, wenn eine ste- rige Folge von Hyperbeln festzulegen ist. Alle Flächen zweiten Geraden lassen sich mithin allgemein durch fünf Curven projicirt denken. Dass eine noch geringere Zahl Curven ausreicht, wenn die Fläche eine besondere Lage hat, braucht kaum erwähnt zu werden. Beispielshalber führen wir Fig. 13 an. Sie ist die Projection eines drei- axigen Ellipsoids, mit den Axen o a= a, oc= c; während die dritte Axe b senk- recht zur Ebene des Papiers stehend gleich o bi ist. Alle zur Bildebene senkrechten