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schneidenden Geraden mo und mi liegen, während zugleich die Geraden ao al, bo bi, co ci ete. alle durch einen Punkt o der Bildebene gehen, ist ein einmanteliges Hyper- boloid(Fig. 12).

Fällt der Punkt o ins Unendliche, so gehen die Geraden agP al, bo bi etc. einan- der parallel, und der Ort ist dann ein hyperbolisches Paraboloid; für diese Fläche liegen also die Spur-und Fusspunkte ebenfalls in zwei einander schneidenden Geraden, aber die Strecken ao ai, bo bi etc. sind einander parallel.

Bei der Projection von Curven als Umhüllenden ihrer Tangenten, oder von ab- wickelbaren Flächen als Umhüllenden ihrer Berührungsebenen ergeben sich zwei Cur- ven so und si. In Bezug auf diese ist es nun wichtig, wenn das Element eine Ebene ist, festzustellen, ob man dasselbe durch zwei Punkte oder durch 2 parallele Ge- raden projicirt denkt. Im ersten Falle sind die Curven so und s. Punktörter, im zwei- ten F9alle dagegen die Umhüllenden der Geraden ao und al. Jede der beiden Auffas- sungen kann unter Umständen vortheilhaft sein. Da nämlich in Bezug auf die Lage der Punkte ao und au, die man in adH und a, annimmt, Willkür herrscht, so kann man bei einer continuirlichen Folge von Geraden ad und al, die Punkte ao und a nach einem gewissen Gesetz verknüpfen. Man könnte z. B. statt der Berührenden die Fusspunkte der von einem Punkte o in P auf dieselben gefällten Normalen benutzen, würde also statt der von den Geraden umhüllten Curven deren Fusspunktscurven (die Podalen, nach Steiner) setzen.

§. 11.

Schliesslich wollen wir noch kurz andeuten, wie auch der Zweistrahl als Pro- jection eines Punktes angesehen werden kann. Im Grunde genommen ist der Zwei- strahl al az nur die Projection einer Geraden. Eine bestimmte Ebene A ist damit erst festgelegt durch Hinzuziehung der Spur ad. Indem wir dieselbe rechtwinkelig zu an annahmen, war sie ein für allemal bestimmt, brauchte nicht gezeichnet zu werden, erforderlich war sie aber doch zur Bestimmung der Ebene A. Auf ähnliche Weise werden wir durch Zuhilfenahme einer dritten Geraden den Zweistrahl zur Projection eines Punktes geeignet machen.

Denken wir uns nämlich zu jedem Zweistrahl, in einer constanten Entfernung von al auf ad, einen Punkt al, so kann dieser als die Normalprojection einer in diesem Punkte zu P senkrechten Geraden gelten, und ihr Durchschnitt mit a ist der durch den Zweistrahl al az projicirte Punkt. Setzen wir die Entfernung ad al gleich 1, so zeigt sich auch die Analogie zwischen der jetzigen, scheinbar etwas willkürlichen Annahme und derjenigen, die wir machten, um den Zweistrahl als Projection einer Ebene auf- fassen zu können. Denn während wir im letzten Falle einen Strahl in der Bildebene unter einem rechten Winkel, der Winkeleinheit, gegen al gezogen uns hinzudenken, so fügen wir zur Erhaltung der Punktprojection einen Punkt a in der Entfernung 1, der Längeneinheit, hinzu. Ein Punkt ist daher im Zweistrahl durch die Tangente des Winkels bestimmt.

Wir brechen die Aufzählung der Projectionsmethoden für Punkt, Gerade und

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