16

1 ist. Da die Gerade a in der Höhe 1 parallel zur Bildebene liegt, so kann man sie als den Durchschnitt der Ebene A mit einer zu P parallelen Ebene Q betrachten. Diese Ebene Q wird auch alle übrigen Ebenen in zu P parallelen Geraden schneiden, deren Normalprojectionen auf P eben im Verein mit den entsprechenden Spuren die Projec- tionen dieser Ebenen darstellen.

Nimmt man nun statt der Geraden ao und a zwei in ihnen liegende Punkte ao und al, deren Abstand gleich dem Abstand der Geraden ist, so können diese als die Zweipunktprojection der Ebene A gelten. Eigentlich sind es die zwei Geraden ad und al, welche die Ebene A festlegen; wir werden aber im Folgenden bald ao al, bald ad an als Projection auffassen, je nachdem das eine oder das andre sich geeigneter zeigt.

4. Es ist kaum noch nöthig zu bemerken, dass die Zweipunktprojection mo m auch für die Gerade m giltig ist. Auch für diese ist die Auffassung am fruchtbarsten, wonach m die Normalprojection des Durchstichspunktes der Geraden m mit der Ebene Q, die in der Höhe 1 parallel zu P geht. Für manche Untersuchungen ist es auch förderlich, die Punkte al, b. aufzufassen als die Spuren der Geraden a, b etc. in der Ebene Q und diese letztere parallel mit sich selbst bis zum Zusammenfallen mit P verschoben zu denken„— Eine ähnliche Auffassung ist bei der Ebenenprojection durch zwei parallele Geraden zu empfehlen.

§. 10.

Wir benutzen die neue Methode zur Lösung einiger einfachen Aufgaben.

1. Die Projection des Durchschnitts m der Ebenen A und B zu finden.— Man überzeugt sich leicht, dass mo und m die Durchschnittspunkte von ao und bo, resp. al und bi sind(Fig. 11). Als Normalprojection des Durchschnittspunktes der dref-Ebenen A, B und C ergiebt sich sofort der gemeinschaftliche Durchschnittspunkt der Diagonalen der drei von aP al, bo bi, co c* gebildeten Parallelogramme.

2. Zwei Ebenen A und B oder zwei Geraden a und b sind parallel, wenn ad af parallel und gleich bo b ist.

3. Zwei Geraden a und b liegen in einer Ebene, wenn ao boſa, bi. Die Nor- malprojection ihres Durchschnittes liegt im Durchschnitt von ado al und bo bi.—

4. Eine Gerade a liegt in einer Ebene B, wenn ag in bo und a, in bi liegt.

Eine Gerade a ist parallel zur Ebene B, wenn sich von einem Punkte cg in bo an bi eine Strecke co ci ziehen lässt, die parallel und gleich ao al ist. Die Gerade a ist normal zu B, wenn ado au ſbi bo, und wenn zugleich das Rechteck aus aP al und bo bi gleich dem Quadrat über der Strecke 1 ist.

5. Die Ebene A ist normal zur Ebene B, wenn sich in A eine Gerade c ziehen lässt, die senkrecht ist zu B.(vgl. 4.)

6. Der Ort aller Geraden, deren Spur- und Fusspunkte in zwei parallelen Ge- raden liegen, ist eine Ebene. Alle Ebenen, deren Spur- und Fusspunktslinien durch zwei feste Punkte gehen, schneiden einander in der durch diese beiden Punkte bestimm- ten Geraden.

7. Der Ort aller Geraden, deren Spur- und Fusspunkte in zwei einander