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Die Zweipunktprojection der Geraden und der Ebene, und die Zwei- strahlprojection des Punktes..

§. 9.

1. In den bisherigen Betrachtungen sind wir, ausgehend von den in der Des- criptive gebräuchlichen Methoden, allmälig zu der Zweipunktprojection des Punktes und der Zweistrahlprojection der Geraden und der Ebene gekommen. Zum Abschluss gelangt unsre Untersuchung erst dadurch, dass wir nachweisen, dass jedes der von uns bis jetzt betrachteten Elemente sowohl durch zwei Punkte wie durch zwei Strahlen projicirt werden kann. Es zeigt sich dadurch für viele Fälle die Möglichkeit, eine und die- selbe Projection auf dreifache Art zu interpretiren und dadurch ternär zusammenhän- gende Sätze zu erhalten. Von der Dreipunktprojection haben wir diese dreifache Inter- pretation schon in der Festschrift nachgewiesen. Zeigen wir jetzt dasselbe von der Zweipunktmethode.

2. In der Projection des Punktes a durch die drei Punkte ao, aql, ag brachten wir den Punkt ao dadurch zum Wegfall, dass wir die Höhen der zu projicirenden Punkte parallel einer gegebenen Ebene in die Bildebene klappten, also durch Einfüh- rung einer Richtung. Die Analogie kann einem darauf leiten, bei Projection der Ebene einmal eine gegebene Strecke einzuführen und zu versuchen, ob dadurch einer der drei Punkte überflüssig gemacht werden kann. Von den drei Punkten do, di, ag als Pro- jection einer Ebene kann aber der Punkt ao nicht wegfallen, weil er zur Auffindung der Spur nothwendig ist; von den beiden Punkten a und ae könnte man dagegen ax entbehrlich maGhen, wenn man die Strecke a, as für alle Projectionen constant sein liesse, mit andern Worten, wenn man zur Projection der Ebene immer einen Punkt wählte, der in allen zur selben Figur gehörigen Ebenen in gleicher Höhe über P läge. Setzen wir diese Höhe gleich der Längeneinheit, so stellt also—qo a eine Ebene A dar, deren Spur ad senkrecht zu aH al durch ao geht, und deren Neigungswinkel gleich dem Winkel bei ad in einem bei at rechtwinklichen Dreieck ao al ax ist, wenn ai e gleich 1. Man könnte die Grösse des Neigungswinkels auch dadurch bestimmen, dass man agP as als seine Cotan- gente bezeichnete, so dass wir also eine Ebene projiciren durch Abtragung der Co- tangente ihres Neigungswinkels in irgend einem Punkte der Spur dieser Ebene, und zwar senkrecht zu dieser Spur und, wollen wir, um jede Zweideutigkeit zu vermeiden, hinzufügen, nach der Seite, wo die Ebene A sich über P erhebt.

3. Durch Ausgehen von der Dreistrahlprojection der Ebene werden wir zu demselben Resultate gelangen können. Lassen wir im Dreistrahl a0 al az, worin al az die Projection einer beliebigen in A liegenden Geraden a ist, den Durchschnittspunkt ad in's Unendliche rücken, d. h. nehmen wir die Hilfsgerade a parallel zur Spur ao an, so erhalten wir als Projection die drei parallelen Geraden ad, al, ag. Hiervon kann az überflüssig gemacht wer- den, wenn wir die Gerade a für alle zu projicirende Ebenen in derselben Höhe über P anneh- men. Lassen wir diese Höhe wieder gleich der Längeneinheit sein, so stellen also die Parallelen aH und at eine Ebene A dar, deren Spur ao und deren Höhe über a, gleich