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bo in a ein Loth bz auf aa; dann ist jede durch b gehende Gerade bo im Verein mit al und ba die Dreistrahlprojection einer zu A senkrechten Ebene B.

3. Ein Punkt a liegt in der Ebene B, wenn die von a, auf b. gefällte und nö- thigenfalls bis bz verlängerte Normale zwischen b, und be ein Stück ergiebt, das gleich der Höhe al az ist.

4. Eine Gerade a liegt in der Ebene B, wenn die Spur ad in der Spur bo liegt, und wenn die in dem Punkte an bi auf a und b, errichteten Normalen gleiche Stücke zwischen al und an, resp. bi und ba liegen haben.

5. Damit eine Ebene C durch den Schnitt AB zweier Ebenen A und B geht, muss jedenfalls ihre Spur co durch den Schnittpunkt ao bo gehen. Man kann daber jede durch ao bo gezogene dritte Gerade co als die Spur einer durch AB gehenden Ebene C anseben. Zwei solche Geraden co und do bestimmen daher zwei einander in A B schneidende Ebenen C und D, und das Doppelverhältniss dieser 4 Ebenen ist gleich dem der Geraden ao, bo, co, do.

Theilen daher co und do den Winkel ao bo harmonisch, so sind die vier Ebenen A, B, C und D ebenfalls harmonische Ebenen.

6. Nimmt man einmal drei Ebenen A, B und C und theilt in dem von den Spuren ad, bo, co gebildeten Dreiecke die Winkel harmonisch, so lässt sich durch ein- fache Betrachtung der Figur leicht zeigen, dass je zwei Durchschnitte der harmonischen Theilstrahlen mit einem Eckpunkt des Dreiecks in einer Geraden liegen, dass also die Ebenen, als deren Spuren wir die Theilstrahlen betrachten, einander in Geraden schnei- den, die zu je drei in einer Ebene liegen.

Einfache Betrachtungen führen hier fast mit derselben Leichtigkeit zu einer Reihe von Sätzen, wie sie Herr Prof. Hesse in seiner analyt. Geometrie des Raums in der dritten Vorlesung über die dreiseitige Ecke und das sphärische Dreieck giebt.

7. Um den Keil zweier Ebenen zu halbiren oder nach einem gewissen Verhält- niss zu theilen, verfährt man folgendermassen(Fig. 7).

Halbiren wir den Winkel a? ba durch die Gerade m, und setzen wir voraus, die- selbe treffe a und b in dem Durchschnitt al bi, so ist dieser Punkt al bi ein Punkt der Spur der halbirenden Ebene D, weil von ihm aus die Normalen auf aa und ba mithin auch auf Aund B einander gleich sind. Zieht man daher do von ad bo nach al ba, so ist diese Gerade die Spur der Halbirungsebene.

Geht aber m nicht durch den Punkt al bi, so zieht man(Fig. 8) von dem Punkte m a eine Gerade cilbi bis an bz und betrachtet ci bz als Projection einer Ebene C, die offenbar parallel zu B ist. Dann ist die Gerade do vom Punkte co ao bis zu ci an die Spur der Halbirungsebene des Keils CA. Eine durch ao bo parallel zur eben gefundenen Spur gezogene Gerade eo ist mithin die gesuchte Spur, weil zu Keilen mit gleichstimmig parallelen Seiten auch parallele Halbirungsebenen gehören.

Ganz ähnlich würde man verfahren, um den Keil A B nach einem andern Ver- hältniss zu theilen. 1