13

Die Grundlinien al, b, etc. der Berührungsebenen kann man nämlich sämmtlich durch o ziehen. Nimmt man dann in P einen ausserhalb des Kreises liegenden Punkt adP an, so ist ao o die Grundlinie a,, und die von ao an den Kreis gezogenen Berührenden sind die Höbenlinien der zwei Berührungsebenen, von denen eine über die andre unter P liegt.

Ist der Mittelpunkt der Kugelfläche ausserhalb P, so erhält man als Projektion zwei concentrische Kreise mit den Radien h r und h— r, die Umhüllenden einer Folge von Kreisen mit dem Halbmesser r. Die Grundlinien gehen durch den Mittel- punkt beider Kreise, die Höhenlinien sind dagegen die Berührenden an die Kreise mit dem Radius r(Fig. 10).

5. Einfache Projectionen gestatten auch die abwickelbaren Regelflächen, wenn man sie als die Umhüllenden ihrer Tangentenebenen betrachtet. Sie ergeben drei Curven So, S1, s2, Welche die Umhüllenden der Spuren, Grundlinien und Höhenlinien der Berüh- rungsebenen sind. Ueberhaupt können je drei Curven in P als Projection einer Regel- fläche gelten. Man erhält nämlich die Dreistrahlprojection einer Berührungsebene dieser Fläche, wenn man eine Berührende an sd als Spur und die von ihrem Berührungspunkt aus an si und sz gezogenen Tangenten als Grund- resp. Höhenlinie ansieht.

Die Curve so kann entbehrt werden, wenn auf andre Weise angegeben ist, wie die Tangenten an s, und s, zusammen gehören, und dadurch erst erhalten wir dann eine Zweistrahlprojection.

§. 8.

Auch hier sollen einige Aufgaben mit Hilfe der Zweistrahlprojection gelöst werden.

1. Die Lage des Durchschnittes der Ebene A und B zu bestimmen(Fig. 6).

Construirt man die beiden Spuren ao und bo, so ist ihr Durchschnittspunkt die Spur des Durchschnittes A B. Um noch einen zweiten Punkt der Normalprojection von A B zu finden, nehmen wir in A und B zwei gleich hoch über P liegende Geraden m und n an. Der Durchschnitt ihrer Normalprojectionen mi und mi ist ein Punkt der gesuch- ten Normalprojection. Die Hilfsprojectionen m. und m erhält man aber, wenn man auf ao und bo, von ao und bo aus, nach der richtigen Seite gleiche Stücke h abschnei- det und durch die erhaltenen Punkte Parallelen zu al und bi zieht bis zum Durch- schnitt mit ag und be in a und bo. Zieht man dann durch ag die Gerade mi ao und durch bz die Gerade n. bo, so ist die Verbindungslinie der Punkte ao bo und mi n. die Grundlinie c des Schnittes A B. Die Höbenlinie cz ergiebt sich leicht, da die Höhe in dem Punkte mi n gleich h ist.

Um den Keil AB zu finden, legt man eine Ebene M senkrecht zu e; ihre Spur mo ist senkrecht zu ci; mi fällt mit vi zusammen und mæ steht normal auf c?, lässt sich also ohne Mühe construiren. Die leicht zu findenden Schnitte dieser Ebene mit A und B bilden den gesuchten Neigungswinkel.

2. Zwei Ebenen A und B sind parallel, wenn al parallel bi und az parallel ba ist.

Um eine zu A senkrechte Ebene B zu construiren, zieht man von einem Punkte

7