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aber leicht ein Kennzeichen für das Senkrechtstehen zweier Geraden a und b finden.

Die Ebene. §. 7.

1. Die bekannte Projection der Ebene mit Hilfe der Horizontal- und Vertical- spur und des Grundschnittes p lässt sich leicht dahin erweitern, dass man, mit Auf- gebung eines fixen p, je drei von einem Punkt ad ausgehende Strahlen ad, al, az als Pro- jection der Ebene A betrachtet, wobei ag die Spur der Ebene, während a, ax die Pro- jection einer in A liegenden Geraden a ist(vgl.§. 5). Zur Ermittelung desjenigen Theiles von A, der sich über P erhebt, mögen die bei der Geraden getroffenen Bestim- mungen gelten. Ueberdiess könnte man zu demselben Zweck die relative Lage des Strahles az gegen agQ und a, benützen.

2. Diese Dreistrahlprojection empfiehlt sich auch durch den Dualismus, der in diesem Verfahren zu dem der Dreipunktprojection liegt. Drei in einer Geraden liegende Punkte sind in dem einen Fall die Projection eines Punktes, drei durch einen Punkt gehende Geraden im andern Falle die Projection einer Ebene. Der Dualismus ist offenbar vollständig ausgeprägt. Genau genommen, sind freilich dort die 3 Punkte und hier die 3 Strahlen jedesmal die Projectionen zweier Geraden, und es wäre daher sach- gemässer gewesen, mit der Projection der Geraden die Untersuchung zu beginnen, wie diess auch in der früheren Abhandlung geschehen. Um aber als Ausgangspunkt das bekannte Verfahren der Descriptive benutzen zu können, so haben wir den jetzigen Gang eingeschlagen. Die Resultate sind natürlich dieselben.

3. Nimmt man statt einer ganz beliebigen Geraden in A eine solche, deren Nei- gungswinkel zu P derselbe ist, wie der der Ebene A, so bilden al und ax diesen Win- kel; al steht in diesem Falle senkrecht auf ah. Da man jetzt, wenn von den beiden Strahlen ao und ai einer gegeben ist, den andern leicht construiren kann, so lässt sich die Projection einer Ebene auf 2 Strahlen ao und aa, oder a, und ax reduciren. Wir wählen die letztere Methode, wegen ihrer Uebereinstimmung mit der Projection der Geraden. In Bezug auf die Lage des einen Flügels der Ebene A über oder unter P mögen wieder die Bestimmungen gelten, die wir bei der Geraden getroffen haben.

4. Um mit Hilfe der Ebenenprojection einen Punkt a zu projiciren, betrachtet man denselben als Durchschnitt dreier Ebenen. Nimmt man von denselben zwei senk- recht zu P an, so genügt zu ihrer Projection die Angabe ihrer Spuren. Der Durch- schnitt al derselben, verbunden mit der Projection al an reicht dann aus, um a in A festzulegen.

Um ein Beispiel der Ebenenprojection einer Fläche zu geben, wählen wir die Kugelfläche(Fig. 9).

Eine Kugelfläche, deren Mittelpunkt o in P liegt, ist als Umhüllende ihrer Berührungsebenen projicirt durch den mit ihrem Radius um o beschriebenen Kreis.