11

mit der Projection at az einer beliebigen anderen in A liegenden Geraden a die Pro- jection der Ebene. Es bilden aber ao, at und a? einen Dreistrahl, und dieser als duales Gebilde zum Dreipunkt führt uns zur Projection der Ebene als Element.

3. Eine Curve s im Raume wird sich mit Hilfe der Zweistrahlprojection durch die Curven so, st und sz bestimmen lassen, von denen die erste die Curve der Spur- punkte der Berührenden an s ist, während s. und sa die Umhüllenden der Projec- tionen dieser Berührenden sind.

Auch zur Projection der Regelflächen wird die Zweistrahlprojection mit Vortheil verwendet werden können, wie denn z. B. die drei Curven so, 8t und sz nicht nur die Curve s projiciren, sondern auch die Regelfläche bestimmen, die, wenn s doppelt ge- krümmt ist, von den Tangenten dieser Curve gebildet wird. Die Projection der Schraubenlinie ist daher auch die Projection der abwickelbaren Schraubenfläche.

Als Beispiel erwähnen wir ferner das Rotationshyperboloid mit einem Mantel, dessen Axe normal zu P ist. Dasselbe projicirt sich in Form dreier concentrischer Kreise so, si, 82, von denen so die Spuren der in der Fläche liegenden Geraden enthält, während st und sz die Umhüllenden der Grund- und Höhenlinien dieser Geraden sind.

4. Wir wollen mit Benutzung der Zweistrahlprojection einige Aufgaben lösen.

Es sind zwei Geraden a und b gegeben; man soll zusehen, ob sie einander schneiden oder nicht. Im ersteren Falle sind die dadurch bestimmte Ebene und der Winkel a b zu ermitteln, im zweiten Falle dagegen der Kreuzungswinkel und die Schichtebenen zu bestimmen.

In dem Durchnittspunkte al bi errichtet man(Fig. 5) auf al und bi Lothe bis zum Durchschnitt mit az und bz. Sind die von al und aa, resp. bi und ba begrenzten Stücke gleich und gleichliegend, so schneiden die beiden Geraden einander in einem Punkte, der um die Länge dieses Lothes über oder unter P liegt. Um den Winkel der bei- den Geraden zu erhalten, construirt man aus ao bo und den Stücken adP ax und bo ba, die auf az und bz von jenen Lothen abgeschnitten werden, ein Dreieck, so ist der Gegen- winkel von adP bo der gesuchte Winkel.

Die Ebene a b hat ao bo zur Spur. Ihr Neigungswinkel wird erhalten, wenn man von dem Punkte al bi ein Loth auf aP bo fällt und aus diesem Lothe und der Höhe des Durchschnitts der Geraden a und b über P als Katheten ein rechtwinkliges Dreieck construirt. Dann ist der Gegenwinkel der Höhe der gesuchte Neigungswinkel.

Sind die in al bi errichteten Lothe nicht einander gleich, so kreuzen die Ge- raden a und b einander. Ihr Kreuzungswinkel ergiebt sich leicht durch Aufsuchung des Winkels zwischen a und einer zu b parallelen Geraden m, die durch einen Punkt von a gezogen wird, und deren Projection leicht anzugeben ist. Zieht man ebenso durch einen Punkt von b eine Gerade n a, so sind a m und ben die beiden Schichtebenen, deren Abstand sich leicht ergiebt.

Eine Ebene B steht senkrecht auf der Geraden a, wenn die Spur bo der Ebene

senkrecht zu al und wenn überdiess ba senkrecht zu ax ist. Hieraus lässt sich 2*