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Betrachtung der ebenen Figur, die man erhält, wenn man nach diesem Verfahren die Seiten eines Dreiecks einmal als die Projectionen von sechs Geraden ansieht, findet sich in den„Geometrischen Ausläufern“ von I. H. T. Müller in dem Kapitel II: Von den Eigenschaften der in den Scheiteln eines Dreiecks auf dessen Seiten errichteten Lothen. Doch ist dort natürlich nicht die Rede davon, diese Figur als eine Projec- tion zu betrachten.

3. Da man der Hilfsgeraden p jede Lage geben kann, so lässt sich erwarten, dass sich auch hier, für gewisse Positionen derselben, Vereinfachungen in der Projection einer Geraden ergeben werden. Ziehen wir Zz. B. p durch die Spur von a mit der Bildebene, so erhalten wir als Projection drei von dem Spurpunkt ao ausgehende Ge- raden al, az und pa, wie man sich leicht überzeugt, wenn man pa einmal wieder als Grundschnitt betrachtet. Als projicirendes Gebild würde jetzt eine Kegelfläche ge- nügen, die ihren Mittelpunkt in ao hätte.

4. Lässt man pa mit al zusammen fallen, so reducirt sich die Projection von a auf die beiden Geraden al und ax, von denen a die Normalprojection von a auf P ist, während az aufgefasst werden kann als Durchschnitt einer Kegelfläche deren Richtkreis senkrecht zu al ist etc. ax lässt sich aber auch erhalten denken, und diese Auffassung ist anschaulicher, durch Umklappen des Winkels a al in die Bildebene. Um festzustellen, nach welcher Seite a über der Bildebene liegt, könnte man überein- kommen, eine Gerade a nicht durch zwei unbegrenzte Geraden al und az zu projiciren, sondern durch zwei von der Spur aPH ausgehende Strahlen al und az. Je nachdem a für Jemand, der in ag auf der Bildebene steht und in der Richtung al sieht, rechts oder links von al läge, je nachdem läge a, nach dieser Seite hin, über oder unter P. Man könnte auch, ohne Rücksicht auf rechts oder links, feststellen, dass a nach der- jenigen Seite über P liegt, wohin die Strahlen af und az voll ausgezeichnet sind; punktirte Strahlen al und az— letzterer könnte auch allein punktirt sein— geben da- gegen an, dass nach dieser Seite a unter P liegt. Wir wollen al die Grund-, aa die Höhenlinie von a nennen.

§. 6. ¹

1. Durch die vorstehenden Betrachtungen sind wir von der Projection der Ge- raden mittelst dreier in P liegender Geraden zu einer Zweistrahlprojection derselben gelangt.

Um mit Hilfe dieses Verfahrens einen Punkt a zu projiciren, muss man ihn als Durchschnitt zweier Geraden auffassen. Am einfachsten wird sich diess gestalten, wenn man mit der durch a gehenden beliebigen Geraden a eine zweite Gerade verbindet, die ebenfalls durch a geht und zu P normal ist. Ein Zweistrahl al az und der in al gelegene Punkt al liefen also die Projection des Punktes a. Einfache Betrachtungen führen von hier aus wieder zur Dreipunktprojection des§. 2 und erklären auch die Bedeu- tung des dort willkürlichen ac.

2. Eine Ebene A ist ebenfalls bestimmt durch zwei schneidende Geraden. Wählt man als die eine derselben die Spur ad der Ebene A, so ist diese im Verein