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einander parallelen Geraden liegen, die entsprechenden Seiten dieser Figuren einander in 3 Punkten schneiden, die in einer Geraden sind.

3. Zu untersuchen, ob vier oder mehr Punkte a, b, c, d... in einer Ebene liegen.

Construirt man die Spuren der durch je zwei der Punkte bestimmten Geraden, so müssen dieselben, damit a, b, c, d... in einer Ebene, alle in einer Geraden liegen. Doch reicht es aus, nur die Spuren der Geraden zu untersuchen, die man erhält, wenn man einen der Punkte, étwa a, mit allen übrigen verbindet.

Es lässt sich hieraus leicht ein Verfahren ableiten, um den Höhepunkt ma eines Punktes m so zu bestimmen, dass, bei gegebenem Fusspunkt mi, m in einer gegebe- nen Ebene liegt.

Die Gerade. §. 5.

1. Eine Gerade a ist nach dem gewöhnlichen Verfahren der Descriptive bestimmt durch ihren Grundriss a, und den Aufriss a?. Mit Hilfe der Durchschnitte dieser beiden Geraden mit dem Grundschnitt p kann man dann leicht die Lage von a an- geben. Wollen wir auch hier auf die Aufrissebene verzichten und uns an eine Projectionsebene halten, da ja, wie schon früher bemerkt, das Endresultat eine in der Bildebene P befindliche ebene Figur ist, so können wir als projicirendes Gebild eine Regelfläche einführen, weil die Schnitte derselben mit der Bildebene P die zwei Ge- raden al und ax sein sollen. Als solche ergiebt sich der Ort aller Kreislinien, welche die Punkte der Geraden a nach§. 2, 1 projiciren; dieser Ort ist aber ein einmante- liges Hyperboloid.

Wie dieses Hyperboloid zur Erzeugung der Geraden al und aa dient, so kann man umgekehrt, unter Voraussetzung eines kreisförmigen Elementes, die drei Geraden al a2 und p als Projection des Hyperboloids betrachten. Dasselbe ist nämlich voll- ständig durch al, a und p bestimmt.

2. Behält man den Grundschnitt p nicht für alle zu projicirenden Geraden bei, sondern nimmt für jede Gerade ein eignes P, so besteht die Projection einer Geraden a in den drei Geraden al, az und pa. Umgekehrt können je drei Geraden in der Bildebene als Projection einer Geraden gelten, wenn man noch angiebt, welche von denselben al, welche ae und welche pa sein soll. Die Ermittelung der Lage der Ge- raden a geschieht dann ganz so wie in der Descriptive aus dem Grundschnitt und aus Grund- und Aufriss. Sind dagegen in P drei Geraden gegeben, ohne dass man weiss, welche al, welche az und welche pa ist, so sind hierdurch mindestens 6 Ge- raden projicirt. Man kann nämlich jede der drei Geraden einmal p sein lassen; dann sind jedesmal noch zwei Fälle möglich, je nachdem die eine oder die andre der zwei übrigen Geraden als at oder als aa betrachtet wird. Wir gehen hier nicht wei- ter auf diese Untersuchung ein, obschon dieselbe manches Interessante bietet. Eine

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