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Eine Curve s ist projicirt durch die beiden Curven s, und sa, von denen die ers- tere die Normalprojection, die letztere die Parallelprojection unter 450 der Punkte der ursprünglichen Curve s ist.

2. Eine Ebene A ist projicirt durch die Projection dreier ihrer Punkte, 3is nicht in einer Geraden liegen. Wählt man zwei dieser Punkte in der Spur ao der Ebene, so erhält man als Projection eine Gerade ao und zwei Punkte am und ag. Fällt man von a, die Normale al aH auf aH, so kann man die Projection der Ebene wieder auf die drei Punkte, aH a az reduciren. Die Hinzufügung eines dritten Punktes aH zu a und az er- giebt also sowol die Projection einer Geraden, wie die einer Ebene.

Flächenprojectionen sind, unter Voraussetzung von Punktelementen, im Allge- meinen keine sehr einfache Figuren. Man wird sich, wenn man nicht complicirtere Elemente einführen will, mit der Projection einer zur Bestimmung der Fläche hin- reichenden Anzahl von Punkten oder Curven begnügen müssen.

3. Dass die Strecken al aa, bi ba etc. einander parallel sein müssen, gilt nur so lange, als dadurch entschieden werden soll, ob die betreffenden Punkte a, b,... über oder unter P liegen. Lässt sich diess aber auf anderem Wege erkennen, etwa durch die Continuität in den Curven s- und sa, so ist kein Grund vorhanden sich in Betreff der Lage der Höhenpunkte dieser Beschränkung zu unterwerfen; man kann dann, wenn man es nothwendig findet, vielleicht um der Curve sz dadurch eine bestimmte Gestalt zu verschaffen, nach einem beliebigen anderen Gesetz die Lage der Höhen- punkte fixiren.

§. 4.

Um die Verwendbarkeit der Zweipunktprojection zu zeigen, wollen wir mit ihrer Hilfe einige leichte Aufgaben lösen.

1. Es sind zwei Punkte a und b gegeben durch ihre Projectionen; man soll die Lage der dadurch bestimmten Geraden a b und den Abstand a b bestimmen.

Zieht man(Fig. 2& 3) die Geraden al b und aa bz so ist der Durchschnitt m beider die Spur der Geraden a b, während ai bi die Normalprojection von a b ist. Errich- tet man in a, und b Normalen auf a b; und macht auf denselben li ls= al a. und b. bz= bi ba, so ist az bz gleich der Strecke a b, und es ist zugleich der von a b und az bz gebildete Winkel der Neigungswinkel der Geraden a b gegen P.

2. Es sind(Fig. 4) 3 Punkte a, b und c gegeben. Man soll die Spur und den Neigungswinkel der dadurch bestimmten Ebene M ermitteln.

Die Spur mo der Ebene M geht durch die Spuren der drei Geraden a b, a c und b c. Bestimmt man also zwei dieser Spuren, so ist die Verbindungslinie dersel- ben die Spur mo.

Um den Winkel M P zu bestimmen, fällen wir die Normale at mo auf mao, er- richten in al die Strecke di ag= al az senkrecht zu M mo, so ist der Winkel a mg as der gesuchte Neigungswinkel.

Die Figur(4) zeigt zugleich, dass, wenn die Ecken zweier Dreiecke in drei zu