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liegt, wenn wir mo in o denken, ma in der Peripherie des genannten Kreises, wie man sich leicht überzeugt. Auch die Projection einer Kugelfläche, deren Mittelpunkt um h über P liegt, ist leicht zu finden. Sie besteht aus drei concentrischen Kreisen, von denen einer durch Projection der Contour der Fläche entsteht, während die beiden an- dern die Umhüllenden einer Reihe Kreise von Radius r sind.

4. Knüpfen wir an die Projection des Punktes, wobei die Geraden p durch einen Punkt o gehen, so wird sich noch eine wesentliche Vereinfachung ergeben, wenn wir, unter der Voraussetzung, dass al a normal zu o al oder in der Richtung von o aW ist, den Punkt o ins Unendliche rücken lassen. Dadurch werden die Strecken ai a, bi b2, ci ca&c. einander parallel, und zwar gleichstimmig oder ungleichstimmig, je nachdem die Punkte a, b, c... auf derselben oder auf entgegengesetzten Seiten von P liegen.

Ein Punkt a projicirt sich nun durch den Fusspunkt al und den Höhepunkt ax, Punkte die man sich als Durchstichspunkte eines durch a gelegten Kreises denken kann, die aber auch dadurch erhalten werden können, dass man durch a eine Normale zu P und eine unter 450 gegen diese Ebene geneigte Gerade zieht; endlich könnte man die Gerade a al um al gedreht denken, bis sie in die Ebene P fällt. Damit man ferner aus der relativen Lage der Punkte qi und aa, b; und ba&c. auf die Lage der Punkte a und b über oder unter P einen Schluss machen kann, müsste man voraus- setzen, dass die Ebenen der projicirenden Kreise, oder die Richtung der unter 450 projicirenden Geraden, oder endlich die Drehungsrichtung, in der man die Höhen der Punkte a, b... umklappt, einer zu P normalen Ebene parallel wären.

5. Eine grössere Allgemeinheit erlangt noch die Zweipunctprojection, wenn man ar und aa zwei beliebige Projectionen des Punktes a sein lässt, d. h. die Durchstichs- punkte zweier durch a gezogener Geraden mit der Bildebene, wobei nur die projici- renden Geraden a a und a aa parallel zweien gegebenen Richtungen m und n sein müssen.

Bei Erforschung der nur auf die Lage bezüglichen Eigenschaften geometrischer Gebilde braucht man vielfach nicht einmal die Richtung von m und n zu kennen, um aus der Projection Schlüsse auf das ursprüngliche Gebilde machen zu können. Indem man aber die Richtung der Projectionsstrahlen vorläufig unbestimmt lässt, erlangen die Projectionen fast dieselbe Allgemeinheit, wie die allgemeinen Gleichungen von Curven und Flächen. Erst zur Ermittlung von Abständen und Winkeln in den ur- sprünglichen Gebilden sind die Richtungen der projicirenden Geraden einzuführen. Im Folgenden lassen wir a, immer Normalprojection und aa die Projection unter 450 sein.

§. 3.

1. Mit Hilfe der Zweipunktprojection werden wir eine Gerade a projiciren durch Angabe der Projectionen zweier ihrer Punkte. Am einfachsten wird diess wer- den, wenn wir als einen der Punkte die Spur ao und als zweiten einen beliebigen Punkt a in a wählen. Wir erhalten also, ähnlich wie in der früheren Abhandlung, die drei Punkte açP, al, ax als Projection einer Geraden.