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Kreise eingeschriebenes Rechteck bilden. Um daher die Punkte qi, aa, ag, wenn ein Kreis als Projection eines Punktes gegeben ist, zu erhalten, zieht man die den Axen- winkel p q halbirende Gerade, sie liefert ag und hieraus ergeben sich leicht die Punkte Di, aa, ag. Es kann daher jeder in der Bildebene befindliche Kreis als Projection eines Punktes angenommen werden. Wir verfolgen diese Betrachtung hier: nicht weiter, be- merken nur, dass diese Methode einer näheren Untersuchung werth, weil sie auch ima- ginäre Punkte liefert, wenn die Halbirende des Winkels p q den Kreis nicht trifft. Ausserdem lässt diese Projection sofort eine duale Interpretation zu, wenn man statt des Punktes a auf der projicirenden Kugelfläche die dort berührende Ebene A als durch diesen Kreis projicirt betrachtet.

Schliesslich bemerken wir noch, dass unter Voraussetzung kreisförmiger Elemente die drei Punkte al, aa, ag oder der dadurch bestimmte Kreis auch als die Projection der Kugelfläche betrachtet werden können, die wir hier als projicirendes Gebild be- nutzten. Dieselbe ist nämlich vollständig durch diese Punkte und den Punkt a be- stimmt.—

3. Vereinfachen würde sich die in(I.) erörterte Projection des Punktes, wenn p durch al gienge. Diess ist aber, wenn p fest bleibt, nur für Punkte möglich, die in der durch p zu P senkrecht gelegten Ebene liegen. Lässt man dagegen p selbt vari- abel werden, d. h. zieht man für jeden Punkt a ein zugehöriges p durch die Normal- projection ai, so reducirt sich die Projection von a auf eine in der Geraden p. gelege- nen Punkt ai, den Fusspunkt, und einen zweiten Punkt an, den Höhepunkt. Die Ge- rade p ist ganz willkürlich und dient nur dazu, festzustellen, ob a um a, ax über oder unter P liegt. Wie diess mit Hilfe von p geschieht, lässt sich nicht allgemein ange- ben, indem man verschiedene Methoden ersinnen kann. Beispielsweise führen wir an, dass man die Hilfsgeraden p alle durch einen Punkt o gehen lassen kann und dann etwa fest stellt, dass ein Punkt a über oder unter P liegt, je nachdem die Strecke a, aa rechts oder links von o au liegt für Jemand, der aufrecht auf P steht und in der Rich- tung o a sieht. Man könnte aber auch au a in die Richtung o al selbst legen und bestimmen, dass ein Punkt unter oder über P liegen soll, je nachdem ae mit o auf derselben oder auf entgegengesetzten Seiten von aM liegt.

Eine dritte Methode wäre, dass man die Gerade p willkürlich durch ai zieht, noch einen Hilfspunkt ao in p annimmt, und nun a, ax entweder auf ag al oder senk- recht zu ao al nach rechts oder links gelegt denkt. Man sieht, dass sich hierdurch leicht Kennzeichen für die Lage der Punkte über oder unter P ergeben werden. Da- mit gelangen wir zu der in der Festschrift des Realgymnasiums von dem Verfasser schon früher veröffentlichten Dreipunktprojection. In jener Abhandlung ist vorausge- setzt, dass die Punkte adP, al, a immer in einer Geraden liegen. Dass es in gewissen Fällen vortheilhafter sein kann, ai ala normal zu ao al anzunehmen, zeigt sich bei der Kugelfläche. Die Projection dieser Fläche, wenn ihr Mittelpunkt o in P liegt, re- ducirt sich nämlich einfach auf eine mit dem Radius r um o beschriebene Kreislinie. Denn nehmen wir einen Punkt m auf der Oberfläche an, dessen F usspunkt mi ist, so