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absichtlich an das gebräuchliche Verfahren der darstellenden Geometrie an, obschon die einfachen Resultate sich auch direct erhalten liessen.

Wir werden uns bei unsrer Untersuchung nach dem Vorgang Steiners der klei- nen deutschen, der kleinen lateinischen oder der grossen lateinischen Buchstaben be- dienen, je nachdem wir Punkte, Linien oder Flächen bezeichnen wollen. Wie die durch die Punkte a und b bestimmte Gerade oft mit a b bezeichnet wird, so werden wir auch häufig den Durchschnitt der Gerade a und b den Punkt a b nennen, und ebenso unter der Ebene a b die von a und b bestimmte Ebene verstehen. Ferner wird A B den Durchschnitt der Ebene A und B, dagegen ABC den Durchschnitts- punkt der Ebenen A, B und C bezeichnen. Der Ausdruck gewinnt dadurch wesentlich an Kürze, die Erklärung neuer Buchstaben wird oft vermieden und die Erörterungen häufig verständlich ohne Zuziehung gezeichneter Figuren.

Der Punkt. §. 2.

1. Nach dem gewöhnlichen Verfahren der Descriptive ist ein Punkt a projicirt durch seinen Grundriss a, und seinen Aufriss aq. Aus al und az lässt sich aber erst auf die Lage von a schliessen, wenn man auch noch die Lage des Grundschnittes, d. h. des Durchschnitts der Grundriss- und Aufrissebene kennt. Nennen wir diesen p, so können wir also sagen, dass a projicirt sei durch al, ag und p. Da wir nur eine Ebene als Basis, die Grundrissebene P, zulassen, so hat p natürlich für uns nicht mehr die Bedeutung eines Durchschnittes zweier zu einander normalen Ebenen, sondern es ist eine in P gezogene willkührliche Gerade, die auf die bekannte Weise dazu dient, Aufschluss zu geben über die Lage des Punktes a über oder unter der Ebene P.

Was hat man aber nun als projicirendes Gebild zu betrachten, da wir das me- chanische Umklappen der Aufrissebene in die Grundrissebene nicht mehr gestatten? Die Antwort ist leicht. Durch die drei Punkte a, al und ax ist eine Kreislinie besimmt, deren Ebene normal ist zu p, und deren Mittelpunkt und Radius sich leicht angeben lassen. Wir werden also, um den Punkt a auf P zu projiciren, durch ihn eine Kreislinie legen, deren Ebene normal zu p, deren Mittelpunkt um ½ z über P liegt, und deren Durchmesser gleich I 22+(2z+ y)?, wenn z der Abstand des Punk- tes a von P und y der Abstand der Normalprojection a von p ist.

2. Das Profil ag des Punktes a lässt sich bei Voraussetzung von nur einer Pro- jectionsebene etwa auf folgende Weise erhalten. Durch die drei Punkte ai, aa, ag(Fig. 1) und den Punkt a ist eine Kugelfläche bestimmt. Diese schneidet die Bildebene P in einer durch ai, az und az gebenden Kreislinie, während ihr Mittelpunkt um ½ z über oder unter dem Mittelpunkte dieses Kreises liegt. Sie ist also leicht zu construiren. In Bezug auf die Punkte al, aa, ag ist noch zu bemerken, dass sie mit dem Hilfspunkt aa, der auf der Halbirenden des Winkels der beiden Grundschnitte p und q liegt, ein dem