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hat sie für gewisse Untersuchungen deren drei gesetzt; ebenso hat man die Zahl der Coordinaten-Ebenen des Raumes zum Theil auf vier erhöht. Das Punktelement wurde von Möbius und Plücker durch Geraden und Ebenen ersetzt unter gleichzeitiger Einführung von drei und vier Punkten als fester Basis. Druckenmüller hat unter Anderem die Grundzüge einer analytischen Geometrie verfasst, worin der Kreis das Element bildet. Analytische Untersuchungen, bei welchen die Kugelfläche das Coor- dinatenfeld abgab, sind mehrfach geführt worden. Die Festlegung der Punktelemente ist vielfach durch andre Zwischenmittel erfolgt als durch einander schneidende Gera- den und Ebenen, und Lamé's coordonnées curvilignes stellen in allgemeinster Auffas- sung den Punkt als Durchschnitt zweier Curven bei ebenen Gebilden, und als Schnitt dreier krummer Flächen bei Untersuchungen im Raume dar, während sie zugleich das Mittel liefern, jede Fläche zum Coordinatenfelde zu erheben durch Constantsetzung

einer der drei Variabeln.

Daneben hat die analytische Geometrie durch geschickte Abwechslung im Gebrauch von Parallel- und Polarcoordinaten, durch Einführung der sogenannten abgekürzten Be- zeichnungen, durch die Benutzung der Determinanten und der Resultate der neueren Algebra, durch Berücksichtigung des Dualismus, der sich bei den auf die Lage bezüg- lichen geometrischen Sätzen herausstellt, und dem sie zum Theil durch die doppelte Interpretation derselben Gleichungen Rechnung zu tragen wusste, es verstanden, bei theoretischen Untersuchungen die Rechnungen selbst auf ein Minimum zu beschränken, ein Vortheil, der einem sofort einleuchtet, wenn man bedenkt, dass die Rechnung vięl- fach doch nur ein Hilfsmittel und eine unliebsame Beigabe, die Ermittelung der Eigen- schaften geometrischer Gebilde dagegen der eigentliche Zweck ist.*) Die analytische Geometrie hat schliesslich den Nachweis geliefert, dass sich die Grundlagen der neue- ren Geometrie mit Leichtigkeit und Vollständigkeit aus den analytischen Grundbegrif- fen ergeben**).—

6. Mit diesen Fortschritten scheint die Descriptive, die doch in ihren Grundlagen die grösste Analogie mit der analytischen Geometrie zeigt, nicht vollständig gleichen Schritt gehalten zu haben, so weit diess wenigstens der Verfasser bei beschränkten literärischen Hilfsmitteln beurtheilen kann. In dem Vorliegenden soll der Versuch ge- macht werden, zu zeigen, wie möglicherweise eine Erweiterung des Gebietes dieses in- teressanten Zweiges der Geometrie angebahnt werden kann. Derselbe muss sich je- doch hier beschränken auf die Angabe einiger neuen Projectionsmethoden, mit Andeu- tungen über ihre Verwendbarkeit.

7. Ehe wir jedoch zu unserm eigentlichen Stoffe übergehen, mag eine nahe liegende Frage Erörterung finden. Wozu, könnte man einwerfen, diese Erweiterung der Des- criptive? Lasse man ihr doch den Charakter eines Zweigs der angewandten Mathema- tik, als welcher sie mit so viel Vorthéil von den Technikern verwendet wird; bietet

*) Vergl. O. Hesse, Vorlesungen aus der analytischen Geometrie. **) Vergl. Fiedler, Einleitung in die neuere Geometrie.

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