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stituirenden Gebilde ein, sie tragen nur theilweise zur Herstellung einer zusammenge- setzten Form bei, indem sie dieselbe einlhrüllen. So wird eine Curve nicht allein her- gestellt durch Angabe ihrer Punkte, sondern auch durch Zeichnung ihrer sämmt- lichen Tangenten; und die Kugelfläche ist nicht nur der Ort aller Punkte, die um eine Strecke r von dem Mittelpunkte abstehen, sie ist auch die Umhüllende aller Ebenen, deren Abstand vom Mittelpunkte gleich r ist.

3. Um die Lage eines Elementes bestimmen zu können, bedarf man gewisser fester Stücke, worauf man die übrigen bezieht; wir wollen dieselben kurz als die Basis der Coordinaten bezeichnen. Dieselben sind, je nachdem das Coordinatenfeld die Ebene, eine gekrümmte Fläche oder der unbegrenzte Raum ist, verschieden: Punkte, Geraden, Ebenen, grösste Kreise der Kugelfläche sind bis jetzt das Gebräuchlichste gewesen. In der Neumann-Miller'schen Projectionsmethode bezieht man die Ebenen der Krystalle auf eine den letzteren umschriebene Kugelfläche, ein Verfahren, das es möglich macht, mit Umgehung der analytischen Geometrie des Raumes, die in der mathematischen Krystallographie nothwendigen Rechnungen mit alleiniger Hilfe der sphärischen Tri- gonometrie auszuführen. Auch die Untersuchung ebener Curven dritten Grades hat Herr Prof. Möbius mit Hilfe ihrer Projection auf eine Kugelfläche geführt.

4. Die Angabe des Elementes und der Basis genügen jedoch noch nicht, um in der Coordinatengeometrie den Gang der Untersuchung festzustellen; es muss noch be- stimmt werden, wodurch die Beziehung zwischen Element und Basis vermittelt werden soll, es müssen die geometrischen Zwischengebilde angegeben werden, wodurch man vom Element zur Basis und umgekehrt gelangt, d. h. die eigentlichen Coordinaten. In dieser Bezichung kann eine grosse Mannigfaltigkeit stattfinden, wie schon der Ver- gleich zwischen Parallel- und Polarcoordinaten zeigt. Ausführlicheres darüber giebt z. Thl. Swellengrebels Buch über„Neun verschiedene Coordinatensysteme.“

Von der Wahl dieser Coordinaten wird aber in der analytischen Geometrie die Form der Gleichungen abhängen, die ein Gebild mit Hilfe seiner Elemente bestimmen, in der Descriptive dagegen die Gestalt der Projectionen auf der Basis, die eine räum- liche Figur festlegen, wenn wir unter Projection ganz allgemein das abgeleitete Gebild verstehen, das uns gestattet, mit Hilfe der Coordinaten der Elemente das ursprüng- liche Gebild unzweideutig zu construiren.

Bis jetzt hat man Element und Basis meist dadurch verbunden, dass man durch ersteres— es war gewöhnlich der Punkt— Geraden oder Ebenen nach einem gewissen Ge- setz legte und die sich dabei ergebenden Strecken und Winkel als Coordinaten rech- nend einführte, oder die Durchschnitte derselben mit der Basis als Projection bezeich- nete und daraus seine Schlüsse auf das projicirte Gebild machte. Wir werden im Verlauf der Untersuchung zeigen, dass Projectionen auch durch ganz andre Zwischen- gebilde erzeugt werden können.

5. Die analytische Geometrie, ursprünglich nur auf Punktelemente und Parallel- oder Polarcoordinaten beschränkt, hat in den letzten 40 Jahren ihr Gebiet nach allen Seiten erweitert. An die Stelle der zwei Axen des Cartesius'schen Coordinatensystems