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Dies gibt, weil sich alle ungeraden Potenzen von v heben: — tg'c.(p* 10 sin“+ v*.(tg“c+ 1). siney= 0,

tg? oder 2. sin-= tgse.sin?, woraus sofort 4) sin?= Ling.. sin c siny

folgt. Damit 5 möglich sei, muss die Bedingung sin. sin= siny erfüllt sein. In diesem Falle hat aber die Seite 5 zwei Werthe, einen, der kleiner und einen anderen, der grösser als 90° ist; die Lösung ist daher im Allgemeinen zweideutig.

Die Seite a findet sich dann durch Gleichung 1): tgb. cosy P tge. cos. 1 Ttgb. tge. cos. cosy

Indem man ähnliche Betrachtungen anstellt, wie bei der vorigen Hauptaufgabe, und die dort gebrauchten Bezeichnungen beibehält, bekommt man im Falle β und e zugleich grösser oder kleiner als 90° sind

und wenn= 90° ist: 4= B.+ P oder 1800—(B.— P), und wenn unter denselben Umständen= 90° ist a= 180°—(B.,— P.) oder P.+ P,

wo der erste Werth von a jedesmal für den spitzen Werth von 5b, der zweite für den stumpfen Werth von 5 gilt.

Ist dagegen β= 90° und 5= 90° oder umgekehrt und ausserdem„= 90%, so ist: a= P,— P. oder 180°—(B.+ P), und wenn unter den nämlichen Umständen„= 90° ist, a= 180⁰°—(.,+ P.) oder P.— P. Auch hier sieht man augenblicklich, dass die Lösung eindeutig wird, wenn P. P, ist, d. h. wenn: sinc.(1— sin¹*) sin*h.(1— sin 2), 1— sinte 1— sin²5

5) u=tga=

oder nach Substituirung des oben(Gleichung 4) Lelundenen Werthes von sinb, wenn sin'c.(1— sin*¹*†) sin:c. sin“¹.(1— ain⸗ y. 27— 1— sin:e sin*y— sin'c. sin¹

Die Multiplication mit dem Generalnenner und Reduction liefert die Bedingung in der Form: (sin“y— sin*).(1— sin*. sin“c) ² 0, welche nur erfüllt werden kann, wenn sin*y— sin?*g, oder, weil die Sinusse immer positiv sind, wenn 6) siny— sin ist.

Besonders erwähnenswerth ist der specielle Fall, wo y= 90°, das Dreieck also ein recht- winkeliges ist. Auch hier gibt es ferner nur eine Lösung, wenn β=y ist, und die Lösung wird unbestimmt, wenn sins= siny= sine= 1 ist. Abgesehen von diesen Ausnahmsfällen kann man die allgemeine Regel aufstellen: Ein sphärisches Dreieck ist bestimmt, wenn gegeben sind zwei Winkel und die Seite, welche dem Winkel, der den grösseren Sinus hat, gegenüberliegt.

Den noch fehlenden Winkel bekommt man durch Gleichung 3): tge— tga. cos tgb-(1 Ttge tga. cos 5)

wobei man aber die zusammengehörigen Werthe von a und b wählen muss. Führt man hier den Hülfswinkel durch die Gleichung tga. cosg= tg B ein, so ist: