kann noch sinb= sinc= siny= 1 sein, wodurch sowohl Pp als auch Pa, folglich auch unbe- stimmt wird. Abgesehen von diesen Ausnahmsfällen kann man die allgemeine Regel aufstellen: Ein sphärisches Dreieck ist bestimmt, wenn gegeben sind zwei Seiten und der Winkel, welcher der Seite, die den grösseren Sinus hat, gegenüberliegt. Mit den gefundenen Werthen von a ist man endlich im Stande, auch die letzte noch fehlende

Unbekannte æ zu finden. Aus Gleichung 2) folgt nämlich:

tgb— tga. cosy tge(1 Ttga. tg b. cosy)“ und wenn man den Hülfswinkel A durch die Gleichung tga. cos= tg A einführt: tg 4).

tge Man kann übrigens, um a und æ zu finden, in derselben Weise, wie im vorigen Paragraphen, die vier Neper'schen Analogien aus unseren Fundamentalgleichungen entwickeln, und darin jene Grössen als Unbekannte ansehen, so dass:

.1a= 2 3-) 3 6+)= 3n g-.1)3(—⸗),

= cCos—=

7) cos æ=

cos ½(6— y) sin X(6—) und cotg Je= o-L*)s 3 6.2)= aiu2-de) ts405—)

§. 10. Sechste Hauptaufgabe.

Gegeben 9, y, c, gesucht cos«= æ, tga= u, tgh= v. Die Fundamentalgleichungen lauten in diesem Falle: 1) à= 9. cos+tge. cos+ u.. tge. cos 6. cosy,

2) v= x. tge+ u. cosy+u. v. x. tge. cos7, 3) tge= u. cos H+ v.+ u. v. tge. cosg.

Man bilde eine vierte Gleichung dadurch, dass man 1) mit æ multiplicirt, und betrachte dann x, u und u. x als Unbekannte. Man erhält dann als Lösung nach v die Determinantengleichung:

v. cosy+ tgc. cos 0 v. tge. cos H. cosy— 1 0 0 v. tge. cos. cosy— 1 0—(w. cosy Ptgc. cos 9)— ,0 tge cosy v. tge. cosy v 2 C08 v. tge. cos tge

Man multiplicire die zweite Vertikalreihe mit p. tgc und ziehe sie von der dritten ab, addire dann die mit v. tge multiplicirte erste Horizontalreihe zur zweiten, so reducirt sich die Determinante auf den dritten Grad, nämlich:

v. tge.(v. cosy+ tgc. cos H) v. tge. cos H†. cos— 1—(v. cosy+tge. cos 5) tge cosy 2= 0**) 5 c08 tge 0 v. tge. cos. cosy— 1—(v. cosy+tgc. cos 5) oder(*+‿ 1). tge cosy 9— 0, (tg'c+ 1).„ Gc08 9 tge

und nach Elementen der ersten Horizontalreihe entwickelt: (v. tge. cos H†. cosy— 1).[tg'c.(u*+‿ 1)—*.(tg'e+† 1))+ +(v. cosy+tge. cos 5).[(*ꝗ+ 1). tge. cos—=(tg*c+ 1).. cosy]= 0.

*) Bei dieser Reduction ist der Factor v. tge. cos 5. cosy— 1 unberücksichtigt geblieben, weil er nicht gleich Null werden kann. In der That, setzt man v. tgc. cos 5. cosy— 1= 0, so folgt aus Gleichung 1) auch v. cosy+tge. cos 5= 0; aus diesen beiden Gleichungen ergibt sich aber die unerfüllbare Bedingungsgleichung tg*c. cos2+ 1=0.