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Denken wir uns nun einmal den Fall, die vierte Kugel schliesse den Durch- schnittspunkt der drei ersten nicht ein und unsere Regeln ergäben das Vorhanden- sein zweier gleichartiger, etwa einschliessender Berührungen. Lassen wir jetzt die 4te Kugei dem Daurchschnittspunkte der drei andern stetig sich nähern, so wird der Radius der einen Berührungskugel stetig abnehmen und zuletzt Null werden, sobald die vierte Kngel mit einem Punkte ihrer Oberfläche den Durchschnittspunkt der 3 andern erreicht hat, während die zweite Berührungskugel zwar auch stetig in Lage und Dimension sich ändert, aber immer in der nämlichen Weise wie vorher die 4 Kugeln berührt. Das Letztere wird auch noch der Fall bleiben, wenn die 4te Kugel über den Durchschnittspunkt der andern stetig hinausgeht und denselben einschliesst; dagegen wird jetzt der Radius der ersten Berührungskugel wachsen, aber in Bezug auf die Oberflächen der 4 Kugeln die entgegengesetzte Lage haben, wie vorher. Die erste Berührungskugel wird also jetzt, anstatt die vier Kugeln einzuschliessen oder von ihnen eingeschlossen zu werden, dieselben ausschliessen, und man wird zwei ungleichartige Berührungen haben, ohne dass die analytischen Bedingungen der Aufgabe sich geändert hätten. Dieses Ver- halten wird so lange dauern, bis die stetig vorrückende 4te Kugel zum zweiten- male den Durchschnittspunkt der drei andern überschritten hat, weil die ungleich- artig und zwar einschliessend berührende 2te Berührungskugel jetzt in eine gleich- artig und zwar ausschliessend berührende sich umwandelt; somit ist jetzt wieder der normale Zustand hergestellt. Ebenso wird dieser normale Zustand herrschen, wenn die 3 ersten Kugeln sich in 2 Punkten schneiden und die vierte ihre bei- den Durchschnittspunkte einschliesst, weil man in Bezug auf den zweiten Durch- schnittspunkt die nämlichen Schlüsse machen kann, wie in Bezug auf den ersten und die Verhältnisse, die durch die Einschliessung des ersten Durchschnittspunktes eine Umkehrung erfahren hatten, durch die Einschliessung des zweiten eine Um- kehrung dieser Umkehrung, d. h. eine Rückkehr in den normalen Zustand erleiden. Es kommt schliesslich noch darauf an, ob sich auch analytisch dieses abnorme Verhalten erklären lässt. Im Anfange dieser Abhandlung haben wir darauf auf- merksam gemacht, dass die Gleichungen 22 und 23 vier Werthe für„ lieferten, von denen immer 2 positiv und 2 negativ seien. Im Allgemeinen, wurde weiter bemerkt, könne man nur die positiven Werthe brauchen, sei es, dass sie aus einer einzigen dieser Gleichungen oder der eine aus dieser, der andere aus jener Glei- chung hervorgingen, und nur da, wo Lagenverhältnisse der Radien, die einen entgegengesetzten Sinn hätten, in Betracht kämen, sei es gerechtfertigt, auch einen negativen Werth als Lösung anzuerkennen. Dies ist nun, wie aus der vorhergehen- den Auseinandersetzung klar geworden sein wird, hier wirklich der Fall. Schliesst nämlich die vierte Kugel den Durchschnittspunkt der drei übrigen nicht ein und finden zwei gleichartige einschliessende Berührungen statt, so gibt die Gleichung 23 zwei positive Werthe für r, die Gleichung 22 zwei negative von bezüglich der- selben absoluten Grösse; wird aber der Durchschnittspunkt der 3 Kugeln von der