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und hieraus, wenn man sich an die Bedeutung der Buchstaben A, B, C, A“ O“ erinnert: 2 Dæ= 27. 4+ 4,

2 D„9= 2r7r B+ B, 2 0D 2= 27. 0+† C. Durch diese Werthe von x, und wird die Gleichung 1: 4 r.(A+ B† C—= D'*)+ 4r.(AR4+ BB† CC)+ A*+ B† 62=4D*00. Vergleicht man diese Gleichung mit Gl. 22, welche für= 0 lautet: 4 PF(4²+‿ B† C2— D*)+ 4 A4+ BB+ C00)+ 4*+ B+ C*= 0,

so sieht man, dass der letzteren durch Y=r, genügt wird. Da aber Y=r Tr., so muss in diesem Falle gleich Null sein. Den anderen Werth von r erhält man, wenn man die Gleichung 22(für= 0) durch V— r. dividirt und den Quotienten gleich Null setzt; denn da r, für diesen Fall eine Wurzel der Gl. 22 ist, So muss dieselbe durch V— r, ohne Rest theilbar sein. In der That ist der Rest der Division gleich:

4 r.*(Au+ B+† Cu— D'*)+ 41.(A4+ BB+ CC0+ A*+ B²+ 0*= 0, was wir oben gleich Null gefunden haben, während der Quotient ist: 4 F(A“+% B C“*— DP*) †+ 4£2‿£‿ B+ C0+(A+ B2+ C“— D); setzt man diesen gleich Null, so erhält man:

v= 44 ₰ B5 4 C0 4(4t B4 C 2). — 42+ F+ 61— D²

Da aber Y= ry Pr ist, so folgt hieraus der zweite Werth von — 44- BECO 22(4 B OD). 7 4.2211. — 42+ N2† 4— 7 Auch dieser zweite Werth von r wird gleich Null, sobald die vier Kugeln durch die nämlichen zwei Punkte gehen oder einen und denselben Kreis zur ge- meinschaftlichen Durchschnittsfläche haben. Für den ersten Fall nämlich haben

x,„, 2 je 2 Werthe, für den zweiten unendlich viele, man hat deshalb für das Eintreten beider Fälle die Bedingungsgleichungen:

D= O0, 271 4+ 4= 0, 2r B+ B= O0, 271 0+ C= O0, und für den zweiten ausserdem noch:

———— und 62= 4= 64. 72 7³ 74 7½ 7³ 74 Dadurch wird aber der oben gegebene zweite Werth von ½7= 0.