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den und die Berührungen also gleichartig sein müssen, sobald eines der F ima- ginär wird, was geschieht, wenn eine oder zwei der das betreffende Dreieck ein- schliessenden Tetraederkanten imaginär sind. Da nun die F auch in den Gleichun- gen der äusseren und inneren Tangentialebenen vorkommen, so werden diese ebenso wie die darauf gefällten Senkrechcen ebenfalls imaginär, wenn eines der F imaginär ist. Man kann also sagen, die Berührungen seien, ihre Möglichkeit vorausgesetzt, immer gleichartig und zwar für das erste Paar con- jugirter Kugeln, wenn die gegebenen Kugeln eine solche Lage haben, dass ein oder mehrere Paare der äusseren Tangentialebenen unmöglich sind, d. h. wenn zwei oder mehrere der gegebenen Kugeln sich einschliessen; für das zweite Paar, wenn die äusseren Tangen- tialebenen an ke, ka, ka unmöglich sind, d. h. wenn eine dieser Ku- geln die zwei anderen einschliesst, oder wenn ein oder mehrere Paare der inneren Tangentialebenen an ka, ka, ka oder ki, ka, ka oder i, ks, Ka unmöglich werden, d. h. wenn eine oder mehrere der Kugeln ka, ka, ka von N geschnitten oder eingeschlossen werden oder umge- kehrt, während von jenen sich wenigstens zwei schneiden oder einschliessen. Aehnliches gilt für das 3te, 4te und 5te Paar. Beim 6ten, 7ten und Sten Paar werden die Berührungen immer gleich- artig, sobald irgend eines oder mehrere der inneren Tangential- ebenenpaare unmöglich sind, d. h. wenn irgend welche drei von den gegebenen vier Kugeln sich schneiden oder in einander liegen. Einen Fall haben wir noch zu erwähnen, in welchem die bisher aufgestellten

Regeln über die Modalität der Lösungen eine Ausnahme erleiden. Derselbe tritt dann ein, wenn drei der gegebenen Kugeln sich in einem Punkte schneiden, welcher von der vierten umschlossen wird. Zeigen in diesem Falle unsere Regeln gleichartige Berührungen än, so ergeben sich in Wirk- lichkeit ungleichartige und umgekehrt. Es fragt sich, wie dieser Widerspruch zwischen der Rechnung unb dem thatsächlichen Verhalten zu erklären sei oder ob es nicht vielmehr ein scheinbarer Widerspruch sei. Zur Beantwortung dieser Frage gehen wir von dem Grenzfalle aus, in welchem alle 4 Kugeln durch einen und den- selben Punkt gehen; es lässt lässt sich leicht errathen, dass dann eine der con- jugirten Berührungskugeln verschwindet, bezüglich einen Radius von der Grösse Null hat, was analytisch in folgender Weise bewiesen wird. Sieht man in den Gleichungen 1, 2, 3, 4 des ersten Theiles dieser Abhandlung die æ, y, 2 als dem- selben Punkte angehörig an und zieht 2, 3 und 4 der Reihe nach von 1 ab, so erhält man mit Berücksichtigung der Gleichungen 10, 11 und 12 nach leichter Reduction:

2 α+ 2 272 2½= d. † 271(i— 71),

2 ᷣσα‿ 2 G+ 2 72½ ½ ·= dis+ 2 71(7.— 7),

2 a. π †‿ 2 4+ 2 7¼ ½= di 27.(ri—r;,