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Für die folgenden Paare conjugirter Kugeln lassen sich ähnliche Relationen aufstellen, zu deren Herleitung man die Gleichungen der drei Paare innerer Tan- gentialebenen an je 3 der Kugeln., ka, Ka, ka nöthig hat. Diese Gleichungen können aber aus den Gleichungen der äusseren Tangentialebenen durch blosse Ver- tauschung der Zeichen und Buchstaben gefunden werden. Um beispielsweise die Gleichungen derjenigen inneren Tangentialebenen an k., k,, k. zu finden, welche ke und. gleichartig, aber auf der entgegengesetzten Seite wie. berühren, hat man in den oben gegebenen Gleichungen der äusseren Tangentialebenen, mit— 7,

241 41.. und mit E zu vertauschen, wo man unter den Flächeninhalt desjenigen Dreiecks zu verstehen hat, welches von den Verbindungsstrecken der Berührungs-

T punkte auf ki, Ka, K. gebildet wird, so dass 4 2ä= Js J14— 1(à16+ d14— da.)“. Sollen die Gleichungen derjenigen inneren Tangentialebenen gefunden werden, welche ka und k. gleichartig aber auf der entgegengesetzten Seite wie N, berühren, so

hat man in den Gleichungen der äusseren Tangentialebenen, mit— r, und F, T 7. mit F. zu vertauschen, wo 4 54²= d1 d14— 1(dis+ 314— 34)“ u. s. W. Nennt

7 7 man nun II. und II die beiden Senkrechten vom Mittelpunkt 1 auf diejenigen gemeinschaftlichen inneren Tangentialebenen von ka, Ka, ka, welche Ko und k. gleich-

7. 7. artig, aber auf der entgegengesetzten Seite wie N., berühren, II. und Ih“ die bei- den Senkrechten vom Mittelpunkt 1 auf diejenigen gemeinschaftlichen inneren Tan- gentialebenen an ka, ka, K., welche k, und k. gleichartig, aber auf der entgegen-

7 7. gesetzten Seite wie N., berühren, I. und I. die beiden Senkrechten, vom Mittel- punkt 1 auf diejenigen gemeinschaftlichen inneren Tangentialebenen an k,, ka, K., welche ka und x. gleichartig, aber auf der entgegengesetzten Seite wie k., berühren;

7 7 7 7 7. 7. haben ferner II und I1“ II. und I1.“ I1 und I1.“ etc. analoge Bedeutung, so findet man vorerst in der nämlichen Weise wie oben die Werthe dieser Senkrech- ten. Man hat beispielsweise:

71 71 71 II. K und I.“K=r. K—(r.+r.) L—(r.+†r.) M4 20 En, 7½ 7G 2 II. K und II,K= r. K†(r. †r.) L+(r.— r.) M4 20, 74 74. 7. II K und II.“K== 7. K(r.— r,) L Ur. Pr.) M4 20 †⁰.

Bei dieser Gelegenheit kann man noch folgende Bemerkung machen. Addirt man nämlich die 6 letzten Gleichungen, so erhält man für die Summe aller II, K den Werth 2 lr. K+(r.— 1) L+(r.— r.) M]; den nämlichen Werth erhält man aber auch durch Addition von P, K und P“K, so dass: