8

KO. 1e r.)(.— 12)

ist, und da K, wie bald erhellen wird, immer positiv ist, so hängt das Zeichen der Probegrösse— V. nur von den Zeichen der Facto- ren des Produktes(.— 1)(P’— r.) ab, wobei zu bemerken ist, dass das Zeichen der P entweder positiv oder negativ genommen werden muss, je nachdem der Mittelpunkt von †, auf derselben oder auf der entgegengesetzten Seite der zugehörigen Tangentialebene liegt, wie der Mittelpunkt von Z., den wir zum An- fangspunkt der Coordinaten genommen haben.

Zum Zwecke des Beweises ist es nöthig, die Gleichungen der gemeinschaft- lichen äusseren Tangentialebenen an kl, ke, ka zu entwickeln. Um die Gleichungen aller 8 möglichen Tangentialebenen auf einmal zu erhalten, könnten wir den von Hesse, Vorlesungen über analyt. Geometrie des Raumes, 1. Aufl., pag. 97, ge- lehrten Weg einschlagen. Wir würden dann am Ende zu einer Determinante des Ilten Grades gelangen, welche in Bezug auf die Coordinaten xæ,, 2 vom Sten Grade wäre; diese Determinante hätten wir dann noch in 8 lineare Factoren zu zerlegen. Da aber dieser Weg für die praktische Ausführung etwas umständlich ist und zu sehr weitläufigen Rechnungen führt, so wollen wir lieber ein Paar Tan- gentialebenen nach dem anderen auf einem für diesen speciellen Fall geeigneteren Wege suchen. Eine gemeinschaftliche äussere Tangentialebene an die Kugeln N., ., ka in der Normalform kann nämlich nacheinander die Formen annehmen:

æ cos+ h cos H½+ 2 cos— r.= 0, 6— G*) C0s æ&+(9— 93) cos 5+(2— 73) cos 7— r.= 0, (—) cos+()ßP— S4) cos Hβ+(2— 7) cos— r.= 0, wenn man das Coordinatensystem nach einander parallel mit sich selber vom Mittel-

punkt der ersten Kugel nach den Mittelpunkten der dritten und vierten verschiebt. Daraus folgen aber die Gleichungen:

³α COos& †. cos Gβ+ 7 C0S 7= r.— r, a cos æ&+„ cos H+ 74 cos 7= r.— r.,

welche in Verbindung mit der ersten der drei obigen Gleichungen für die Cosinusse folgende Werthe ergeben:

T Äh 2 71 7 2 9 2, T 91 2 . 74 C0S= 71—r 66 72, 2 ¹ 74 C08 G= e i 72 22 94 64. 71=74 4 7. a 74. 241*4 74

C J 2 n.

74 Cos 7= as 9. 7.— 1

A 4—174 A 94..