. 5

Da aber x,++. †.=. †. † 1,+.= 4(h'+ L“+ z*+ 1.“) ist, 80 lehrt die Vergleichung dieser Relation mit Gl. 60, dass:

1=4nkH E..

62)+ De* De* 4 h /9= B 1 4 AL= E 4 D°*— 4 De*

wo überall das positive Zeichen für die Quadratwurzeln zu nehmen ist.

Die von Schubert aus seinen obigen Gleichungen gefundenen Relationen: (a.+.— 71)'—(A.+ m— z.— 716)”= =(m.+ m.—.— 2r.)(m.. u. mn 6)“= =(m+ m.— n.— 21.)—(71.+.,— 2— 11.)“= —(r+ 716—.— 718)(u+ 211— Ig 1u).+ 2s— 718.— 2). m+ n. † m.+ s (i-h s. ns)(n.== n)(r n. n. n.) .+ m+.+. haben auf jeder Seite den Werth 256 1 72 1 7. d. h. nach 62:

1617 2½ 22 hah 4(*— B*)(*— B*)(94—)(0*— E).(63) D* 05

Wir wenden uns jetzt zu dem zweiten Theile unserer Untersuchung, nämlich zur Bestimmung der Modalität der Lösungen. Je nachdem die Gleichungen 22 und 23 entweder jede zwei Wurzeln von demselben Zeichen oder von ver- schiedenen Zeichen liefern, hat man zwei gleichartige Schnitte bezüglich Berührungen oder zwei ungleichartige. Beschränkt man sich auf den Fall der Berührungen, wo= 0 ist, und bedenkt man, dass das constante Glied in beiden Gleichungen 4*+ B+† C“, als die Summe dreier Quadrate, immer positiv ist, so ergibt sich, dass Wurzeln von demselben Zeichen dann vorhanden sind, wenn die Grösse A4+ B2+ C*— D'* oder— I.* positiv, Wurzeln von ungleichem Zeichen, wenn diese Grösse negativ ist. Hiernach ist die vollständige Determination der Aufgabe in sehr einfacher Form möglich; man kann nämlich sagen, dass das erste Paar conjugirter Kugeln existire, sobald V und R. entweder beide zugleich reell oder beide zugleich imaginär seien und dass im ersten Falle ungleichartige, im zweiten gleichartige Berührun- gen stattfinden. Aehnliches gilt mutatis mutandis für die übrigen sieben Kugelpaare.