30 von den vier Kugeln immer je zwei gleichartig berührt werden. Man hat danm als Lösung jedesmal unendlich viele Kugeln von demselben Radius. Die einhüllende Fläche kann auch hier degeneriren in einen Kegel, der entweder in seinem einen Fache drei Kugeln, in dem andern eine, oder in jedem Fache zwei Kugeln berührt. In ähnlicher Weise modificirt sich der Fall, wo die Radien aller Kugeln gleich sind und ihre Mittelpunkte auf der Ebene liegen; man hat auch hier wiederum unendlich viele Schnitt- bezüglich Berührungskugeln von verschiedenen Radien, deren Mittelpunkte alle auf einer geraden Linie liegen, die auf der Ebene senkrecht steht, und wenn ausserdem die Mittelpunkte der gegebenen Kugeln in gerader Linie liegen, d. h. wenn sich ein Cylinder um die vier Kugeln legen lässt, so hat man als Lösung unendlich viele Ebenen, welche der Axe jenes Cylinders parallel sind.

Die acht Werthe der V und 7 stehen unter sich in einem merkwürdigen Zu- sammenhang, welcher aus zwei der interessanten von Schubert, Zeitschr. für Math. und Phys., XIV, pag. 513, entdeckten Relationen zwischen den Radien der acht Paare conjugirter Berührungskugeln erkannt werden kann. Bezeichnet man nämlich mit, und“ die Radien der beiden ersten conjugirten Berührungskugeln, mit n und d,“ die Radien des zweiten, mit, und d,“ die Radien des dritten Paares u. S. W., S0 haben die erwähnten Relationen folgende Gestalt:

1 1 1 1 1 1 1 1 „„ ,F,.— 7 7 7 7 9 9 65 9 0. 9;, 9s 98 02 0⸗ 9 9 64 04 98 05

1 1N, 1 1 12. /1 2 /1„, 1 62)G2):JGr2):G.9)- 9 91, 96 s 9. 9 0s

1 1 N* 1 1NV 1 1„* 1 1 X2 (S)GE) r(e(e) 92 2 93 03 4 9. 0 0⸗ Substituirt man nun in den Gleichungen 22 und 23 statt Y und Z ihre

Werthe †r. und— r, nachdem man ùů= 0 gemacht hat, so erhält man: 74 1„4 2714 4- 14 A

48) 7 5 17 Nach 27 ist: 1 ir⸗ r r, r r. Sr. k ¹ mn 4=—., 471 7 ¹ K 2 11—r a ſ“

was sich dadurch, dass man die erste Horizontalreihe nacheinander mit„,— r.