29 wo die, e, a analoge Bedeutung haben wie ½,,. Die Bedingungen, unter denen die Lösung unmöglich ist, sind aus den oben für für, angegebenen, leicht zu finden, wenn man bedenkt, dass hier t. nacheinander durch X,, k., ka ver- treten wird; während alle übrigen Umstände unverändert bleiben. Bei diesen zu- letzt betrachteten vier Paaren conjugirter Kugeln tritt übrigens wie beim ersten Paar der merkwürdige Fall ein, dass unter gewissen Umständen die Lösung un- möglich ist, obschon dies die Discriminante nicht direct anzeigt. So ündert z. B. de nicht das Zeichen, wenn und d. negativ werden, wenn., ,4, d,, das positiv bleiben, d. h. wenn k. und Ka sich schneiden oder einschliessen und I., k. sich einschliessen und doch ist eine Lösung unmöglich. In der That lässt sich durch ähnliche Betrachtungen wie oben bei beweisen, dass, unter diesen Um- ständen negativ ist. Ganz nämlich so verhält es sich mit den noch übrigen drei Paaren conjugir- ter Berührungskugeln, für welche man hat:

43) 4.=— 1 D..=4 D* V.* R.,

46)=— 1 P. 2*

= 1D H R.,“

47) 2,= 10.= 4 D V-R.“.

14 J24 dan 0

Auch der Ausnahmefall D= 0 gestaltet sich bei diesen sieben Paaren conjugirter Kugeln wie bei 4.. Ist ferner auch hier O= 0, so bedeutet dies für 3,, 4,.. e, dass eine äussere Tangentialebene an zwei der gegebenen Kugeln eine innere für die andere sei, und für 4., e, o., dass eine äussere Tagentialebene an zwei der gegebenen Kugeln eine innere für die zwei anderen sei. Liegen die Mittelpunkte aller vier Kugeln in einer geraden Linie auf der æν Ebene, so muss für das zweite, dritte und vierte Paar conjugirter Kugeln das erste Paar conjugirter Berührungs- kugeln an drei der gegebenen Kugeln auch die vierte und zwar in der entgegenge- setzten Art wie die übrigen berühren; für das sechste, siebente und achte Paar dagegen muss bezüglich das zweite, dritte und vierte Paar conjugirter Berührungs- kugeln an drei der gegebenen Kugeln auch die vierte berühren und zwar so, dass