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sich selbst conjugirte Berührungskugel, welche jene längs eines imaginären Kreises im Unendlichen berührt. Denkt man sich nun im ersten Falle, dass die erste Kugel die zweite, die zweite die dritte, die dritte die vierte einschliesst und lässt die zweite Kugel sich im Innern der ersten vom gemeinschaftlichen Berührungspunkte wegbewegen, während die Lage der dritten und vierten unter sich und zur zweiten unverändert bleibt, d. h. lässt man dia, dis, di negativ werden, während a, de, des Null bleiben, so ist immer noch ₰ gleich Null; in der That existirt dann eine sich selbst conjugirte Berührungskugel, welche von. eingeschlossen wird und Ir, Ia., k. in ihrem gemeinschaftlichen Berührungspunkte einschliessend berührt. Lässt man nun auch sammt k., ohne dass diese aufhören, sich zu berühren, im Innern von x, von dem gemeinschaftlichen Berührungspunkte sich wegbewegen, d. h. werden alle Kantenquadrate negativ bis auf d., welches Null bleibt, so ist h.=— 1 D2(d. da.— d daa)“, also negativ, und dieses negative Zeichen wird fort- während bestehen bleiben, welche Lage die drei ersten Kugeln unter sich auch haben mögen, wenn sie sich nur der Voraussetzung gemäss einander einschliessen, also auch dann, wenn sie concentrisch sind. Bewegt man endlich die vierte Kugel im Innern der dritten vom Berührungspunkte weg, so kann dieses Zeichen nur dann positiv werden, wenn 4. zwischen der zuletzt erwähnten Lage und derjenigen, wo alle Kugeln concentrisch sind, wenigstens einmal durch Null geht; dies ist aber unmöglich, weil unter der Voraussetzung, dass alle Kanten negativ seien, V. und also auch ₰, nie Null werden kann; denn dazu gehört das Nullwerden von wenigstens einer Kante.

Wenn d, dis und a negativ sind, so hat man ebenfalls zwei Grenzfälle; entweder nämlich sind k-, k., k, concentrisch, d. h. ᷣ έ=)= 23= 0 und -14= G22=(02=/C, oder k., k,, ke berühren sich in einem Punkte einschliessend, d. h. d,, dis, das sind Null. Im letzteren Falle ist w gleich Null; lässt man d., negativ werden, so ist,=— 1 D²d.,*des“; wird auch d, negativ, so ist m,=— 1 D=(di de.— d. de)“, also auch negativ. Werden endlich k,, ka, ke con- centrisch, wo natürlich dia, da und de, negativ bleiben, so wird auch hier wieder aDh negativ; denn man hat jetzt:

0— a*— b² C— e* — a* 0—(⁴—— b)“ G—(a— c)* — b'—(4— b)“ 0 C—(b— e)“ C— c C—(— c) C²—(b— e)* 0 also negativ. Zwischen dieser Grenzlage und der zuletzt erwähnten Lage müsste also 4, wenigstens zweimal durch Null gehen, wenn es innerhalb dieser Grenzen einen positiven Werth haben sollte. Dies ist aber unmöglich, weil nach der Vor- aussetzung innerhalb dieser Grenzen d,,, d, das negativ, das, dea. d.. positiv sind und wenigstens eins dieser Kantenquadrate Null werden müsste, wenn I., also auch D. verschwinden sollte.

=— a*5(a— b) CD',