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Die Gleichungen 19 werden illusorisch, sobald D= 0 wird, weil sie dann unendlich grosse Werthe für α,, liefern; man muss desshalb diesen Ausnahmsfall speciell untersuchen. Zu diesem Behufe nimmt man an, die Ebene sei die Ebene, in welcher die Mittelpunkte aller 4 Kugeln liegen, und setzt dem- nach, 7, 7 in den Gleichungen 15— 17 gleich Null; man erbält dann:

2 xœu+2‿ 29,— 2(r.— r.) I= d,

2 ααm τ 2 6— 2(r.— 1) I= Gs.

2 αα‿+ 28 6— 2(r.— r.) I= d, wo man jetzt natürlich de=cas+†,—(r.— 1.)“, d.s= αα ◻£α—(r.— r.)“, dia= d..,—(r.— r.) zu setzen hat. ISt nun:

2 dis 71 2 92 di⸗ 71 b2 d., 62 du a, 62.— r. 38) Ceg dl.⸗ r.— r.= R, 6 c⸗ r.—r.=R“, dlia= R“, Ge 6 I. r= 0, a. dia m.—. 6 dia I. r. d. 94 di. de. 4 r.— r. so hat man: . F. 39) 2=— 2 2=— ) 0 9 6= 5„ 0

Diese Werthe sind also eindeutig bestimmt; insbesondere merke man, dass V und in Folge dessen nur einen Werth besitzt, was davon herrührt dass die Gleichung 22 für D= 0 zwei gleiche Wurzeln hat. Es bleibt nur noch„ zu bestimmen. Die Gleichung 6 gibt aber:

²+† 7 72 7 77² 244

on+47=* A2ern]ts: ⁰ 0Oder: 3 22 ʃ² Nr 2 40) I7*Ee E(t 4 27. O)*tg“«

so dass die gesuchten Schnitt- bezüglich Berührungskugeln nicht nur gleichen Radius haben, sondern auch symmetrisch oberhalb und unterhalb der æ Ebene liegen, wie zu erwarten war. Die Discriminante ist für diesen Fall:

Taνν—(E* R“²) †(R“ 2r. 0) tg*

Der letzte Term derselben ist gleich tg*οσ, multiplicirte: mit dem(Quadrat der Determinante:—

Ce 62 cli⸗+† 271(r. r.)

2 63 dlia*† 2r.(r.*),

2 64 dia 43 271(r.— r.) und da man statt d. † 2r.(r.— 7), da+ 2r.(r.— r.), da 2r.(r.— r.) wie- derum bezüglich setzen kann k+† r.*— r. ², k † r.— r., k“ r.— r.“, so ist derselbe von dem Zeichen der r unabhängig, bleibt also derselbe für alle Paare conjugirter Schnittkugeln. ÜUm seine geometrische Be- deutung kennen zu lernen, überlege man, dass die vier Kugeln von der Ebene der —ꝙ in grössten Kreisen geschnitten werden und dass die Potenzlinien des ersten

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