17 also D= O0 wird; dies ist aber der schon mehrfach erwähnte Ausnahmefall. Im zweiten Grenzfalle sind die Kugeln N, und, concentrisch und ebenso die Kugeln k, und k., d. h. die Mittelpunktsentfernungen und c,. sind Null und ausserdem ist Gr= C14=(„=(2a. Nennt man nun das Quadrat dieser Mittelpunktsentfernung

C und setzt r.— r.= a, r.— r.= b, r.— r.=c, So ist r,— r.=—(a—), r.— r.=—(a—), r.— r.=—(b— c) und man hat: 0— a* C— b² 0— e* — a* 0 C—(a— 5b)*—(a——)* — 1*²— 1 20ů2(—))* 2 an 10.. 0— b= O h' 0 L. e 1 a* bby— e)*(—atb4„0D',

also negativ. In beiden Grenzfällen ist demnach ₰, negativ; sollte es bei stetiger Aenderung von d und d einen positiven Werth erhalten, so müsste es wenigstens

zweimal durch Null gehen, d. h. es müsste für zwei Paare zusammengehöriger Werthe von da und d.

4* ch. d,3 c.—(d c. † ds c.— dl Gl 2) sein. Nun kann aber V nicht gleich Null werden, ohne dass wenigstens eins der Kantenquadrate dos, diν, d etc. gleich Null wird, und R, wird nur Null, wenn alle Kanten gleich Null sind. Damit daher obige Gleichung stattfinden könnte, müsste entweder: (lis Gta= 0 Und das daa= d. ds, oder das de.= O0 und di da.= d.4 daa, oder diο des= 0 und dais da= d do.

sein. Da aber vorausgesetzt ist, dass di und da beide negativ seien und weder dia, noch dea, noch daa, noch das den Werth Null haben, so kann imerhalb der erwähnten Grenzfälle, nicht Null werden und ist desshalb negativ.

In ähnlicher Weise behandelt man die Fälle, wenn alle 6 Kantenquadrate ne- gativ sind, d. h. wenn alle 4 Kugeln eine in die andere eingeschachtelt sind, oder wenn 3 Kanten, welche eine Fläche des Tetraeders begrenzen, z. B. d.*, dis, das imaginär sind, d. h. wenn die dritte Kugel von der zweiten, die zweite von der ersten eingeschlossen wird, die vierte die übrigen aber weder einschliesst noch von ihnen eingeschlossen wird.

Wenn nämlich alle Kugeln ineinandergeschachtelt sind, so hat man wiederum zwei Grenzfälle, den einen, wo sich alle vier Kugeln in einem Punkte einschliessend berühren, d. h. alle Kanten des Tetraeders P. gleich Naull sind, den anderen, wo diese Kugeln concentrisch, d. h. alle c gleich Null sind. In beiden Fällen hat man n gleich Null; im ersten Falle ist jede der vier gegebenen Kugeln eine sich selbst conjugirte Berührungskugel an sich selbst und die drei anderen; im zweiten Falle, wWo n= 0 ist, weil nicht bloss D sondern auch die mit D multiplicirte Determi- nante verschwindet, ist jede beliebige mit den vier gegebenen concentrische Kugel eine

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