18

Wir haben uns bisher einer Hülfsparabel bedient, um dem Lauf einer parabolischen Curve in der Nähe von 3 nahe aneinander liegenden Punkten darzustellen; da der Kreis durch drei Punkte bestimmt wird, so liegt es nahe, denselben zu demselben Zwecke zu verwenden. Liegen vorerst wiederum die drei Punkte, welche den Näherungswerthen a, 5, c entsprechen, ganz von einander getrennt und in der Nähe des Durchschnittspunktes der Curv& mit der Abscissenaxe, so hat man, um den Hülfskreis zu bestimmen von den 4 Gleichungen auszugehen:

(= a) f.( 6)=*, (4— a)“+†(a)— 1'=r“ (— a) † lfG)— gl'=r* (E—= a)“ †[fc)— S1=T* welche dadurch, dass man von der ersten nach einander die drei anderen abzieht, sich in die folgenden drei verwandeln: x2— a* †„e—(a)“— 2(*ͥ— a)— 25 1—(a)]= 0, 22—— bz †„2— 7(b)“— 2(— b)— 28 /(b)1= 0, 22— à* †& 9*— f(c)e— 24— e)— 281u— †Ol1=o. Daraus folgt die Determinante: „— f(a)*— a 2s— as †*— f(a)“ „— f(b) æ— b*— 5b: †„— †(b)“= 0; „— fG) 2— e 2s—*+„*— H) setzt man darin= O und wendet einige leicht zu ermittelnde Umformungen an, welche den schon oben angewendeten ähnlich sind, so erhält man als Gleichung zur Bestimmung des neuen Näherungs-

werthes: fG)— fll) b—T b— o*+† G)— foll- f(e)— fla) e— a(— a)“ † f(c)— †(a)l= O.(9) — fa)— a(— a)“+† †(a)“ Fallen zweitens zwei der drei Näherungspunkte zusammen, d. h. wendet man einen Hülfskreis an, der die gegebene Curve in einem Punkte zweipunktig berührt und durch einen zweiten Punkt derselben geht, so hat man folgende Gleichungen zu combiniren:

(.— αᷣ*+‿ i))“= T“ (.— a)*₰‿ lfL)— Sl⸗=v 2(a—)+ 20f(a)— S1 †ℳa)= 0, (b— æ+[5)— 61“*= 7“, aus denen, wenn man darin„= 0 gesetzt hat, in ähnlicher Weise wie oben, die Näherungsgleichung entsteht: f(a) 1 0 7(CB)— fla) b— a(b— a)“ †[fG)—]l*= O.(10) — fa) ⸗æ— a(— a)+ †(a)“ 4

Fallen endlich alle drei Näherungspunkte in einem Punkt zusammen, d. h. wendet man einen Hülfskreis an, der die gegebene Curve in einem Punkte dreipunktig berührt oder osculirt, so er- geben die vier Gleichungen(*— a)+(— 5)“. r“,

(a— æ)“ † f(a)— Sl'* r. (a— a) †[f(a)— gI5(6)= 0. 1+†(a)“+†[fa)— 617%(4)= O