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die Entwickelung liefert:

0ö= f(a)+†(E— a)(a)+† ½(Eh— a)“†(a), also die Newton'sche Näherungsgleichung.

Aus dieser Darstellung ergibt sich, wie die regala falsi in ihrer einfachen und in ihrer er- weiterten Form mit der Newton'schen Näherungsmethode in ihren beiden Gestalten übereinstimmt und wie sie sich von derselben unterscheidet. Bei der letzteren wird entweder statt der gegebenen para- bolischen Curve eine gerade Linie substituirt, welche die Curve in dem Punkte, dessen Abscisse gleich einem, Näherungswerthe von x ist, berührt, oder aber eine Parabel, deren Hauptaxe auf der Abscissenaxe senkrecht steht und welche in dem Punkte, dessen Abscisse gleich einem Näherungswerthe von æ ist, eine dreipunktige Berührung mit der Curve hat oder dieselbe osculirt. Bei der regula falsi tritt statt der Tangente eine Sehne auf, welche zwei Näherungspunkte verbindet und statt der osculirenden Parabel eine solche, die durch 3 Näherungspunkte geht. Die 2 Punkte, bezüglich 3 Punkte, welche bei der einfachen, bezüglich erweiterten regula falsi auseinanderliegen, fallen bei der Newton'schen Methode in ihren 2 Formen zusammen. Man kann demgemäss auch eine Verbindung beider Methode vornehmen, welche unter Umständen nützlich werden kann. Bestimmt man nämlich die Hülfsparabel so, dass ihre Hauptaxe senk- recht auf der Abscissenaxe steht, dass sie die gegebene parabolische Curve in einem gegebenen Punkte, dem ersten Näherungswerthe, zweipunktig berührt, und dass sie endlich einen zweiten Punkt, den zweiten Näherungswerth, mit ihr gemeinschaftlich hat, so muss man von den Gleichungen ausgehen:

„yä= 4+ B+ Ca, fa)=4+ Ba † Ga* 7a)= B 20a, (b)= A+ B b+ C5, woraus als Gleichung der Hülfsparabel folgt:

f(a) 1 a a Fr(a) 0 1 244 0 7(e) 1 5

9„ 13—&ꝙ a.. in welcher man nur noch= 0 zu setzen hat, um die Gleichung zur Bestimmung der zweiten Näherungs- werthe zu erhalten. Letztere Gleichung erhält dadurch, dass man die erste Horizontalreihe von der dritten und vierten abzieht, drei Nullen in der zweiten Vertikalreihe und heisst dann so:

f4(a) 1 2 f(b)— f(a) 5h— a b2— a-= 0; — †(a)*— a a— a' wenn man jetzt die mit 2 multiplicirte zweite Vertikalreihe von der dritten abzieht, so kommt endlich die zur Berechnung bequeme Gleichung: 3 77() 1 0 . FCB)— fa) b— a(b— a)“= O.(8) — fa) ⸗— a(x— a)“

Dasselbe Ergebniss ergibt sich auf rein analytischem Wege, wenn man von der ersten und dritten der Gleichungen(1) und der Identität †(a)= †(a) ausgeht; statt der letzteren kann man auch die andere fe(a)+af“(a)= mf(a) †nf“(a) nehmen, wo m und n beliebig gewählte Constanten sind, und erhält alsdann das Resultat:

m f(a)+ nf(a) m n fb)— fGC)„— a b—)*=.(3a.)

— fla)„— a(*—)* 1