15 wenn man jetzt auch noch die zweiten Potenzen von 5b— a,— a,— a beibehält, nur zusammen- bestehen, wenn man die Determinante 3 (a) 1 O6 0

Tf) 1rh— a(b— a): f(e) 1— a(c— a)“ 0 1„2ᷣ— a(— a)* gleich Null setzt. Man kann derselben eine einfachere Gestalt geben, wenn man die erste Horizontal- reihe von allen folgenden abzieht; man erhält dann: f)= fa) h—a b c) fe)— fla) e—a(e—)“=o. 6) —(a)— a(x— a)“ Es ist klar, dass das Resultat illusorisch ist, wenn eine der Grössen 7†(a) oder †(a) gleich Null ist.

Der Zusammenhang beider Methoden wird durch eine geometrische Betrachtung sich noch klarer stellen lassen. Betrachtet man zu diesem Zwecke= f(x) als die Gleichung einer Curve des nten Grades, so sind †(a), †(b), †(c) die Ordinaten derselben, die zu den Abcissen a, b, gehören. Denkt man sich vorerst durch die Punkte ææ a,=(a) und α b,= †(b) eine gerade Linie gelegt, so ist diese eine Sehne der Curve, deren Durchschnittspunkt mit der Abscissenaxe um so weniger weit von dem Durchschnitt der Curve mit der Abscissenaxe entfernt ist, je näher a und b dem Wurzelwerthe liegen. Die Gleichung dieser Sehne findet man, indem man mit der Gleichung

di i and 19 ie zwei anderen F(a)= A+ Ba, I0)= A+ B verbindet; man erhält so: f(a) 1 a f(Cb) 1 51= 0. 4 9 ib Llha Setzt man in derselben= O, um den Durchschnittspunkt der Sehne mit der Abscissenaxe zu er- halten, so kommt: f(a) 1 a fGb) 1 5b.=o; 0 1

wenn man dann die erste Horizontalreihe dieser Determinante von allen folgenden abzieht, so ergibt sich dieselbe Gleichung, die wir oben(2) erhalten haben. Rückt nun der Punkt b dem Punkte a immer näher, bis er mit ihm zusammenfällt, so geht diese Sehne in die Tangente an die Curve im Punkte a über, deren Gleichung man erhält, wenn man von den drei Gleichungen

„ä= 4+ Ba. f(a)= 4+ Ba . fr(a)= B ausgeht; es' gibt dann fa) 1 a 77(a) 0 1= 0. Sna Lg Setzt man auch hier„y= 0, so erhält man Fa) aæ— a=— 77 1*(a)

also den Newton'schen Näherungswerth.