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wodurch man die Unbekannte 9 finden kann, wenn b und c zwei Näherungswerthe derselben sind, nämlich (b— a) †(a). Fb)— f(a)

Man nennt diese Methode die regula falsi; sie ist auf Functionen jeder Art anwendbar und gibt bei ganzen rationalen Functionen des ersten Grades den genauen Wurzelwerth, sonst nur Näherungs-

werthe. Dieselbe ist ihrem Wesen nach nicht verschieden von der nach Newton benannten Näherungs- methode(vgl. Baltzer a. a. O. S. 255), wie jetzt gezeigt werden soll.

9— a=—

Es seien a, b, c Näherungswerthe einer Wurzel von f(æ), die von derselben um weniger als die Einheit abweichen, alsdann ist nach dem Taylor'schen Lehrsatze

fG)= fla G— a]l= f) G= O) F0) 1G— G*/4a) P.... fo)= fla †— l= fCa)— a) Pa) † 3(e— a)†**)..... ch e)= fla 4.(w a)l= 0) R E= ajflo) K. 362— ap 10)..ee

Ausserdem hat man noch †(a)= †(a).

Ist æ der genaue Wurzelwerth, dann ist †()= 0, und es folgt aus der ersten, dritten und vierten dieser Gleichungen, wenn man nur die ersten Potenzen der kleinen Grössen 5— a,— a, x— a berücksichtigt, dass die Determinante — F(a) 1 0

f(b) 1 b— a

0 1 xᷣ— a gleich Null sei. Dadurch, dass man die erste Horizontalreihe dieser Determinante von allen folgenden abzieht, erhält diese Gleichung die Gestalt:

1

f(b)— f(a) b— a— 1 ben T fe) arna37n mas 0) Woraus wie oben folgt: Na wl od(B A/() Eafe I.(S)— Fo) 1(3)

Die ganze Herleitung ist jedoch nur dann richtig, wenn nicht(a)= 0 jst. Der Newton'schen Näherungsmethode liegt die dritte der Gleichungen(1), Renn man darin F(æ)= O setzt, nämlich:

0= f(a)+(— a) †a)+† ½— a)“ †(a)+†..... zu Grunde, woraus mit Vernachlässigung der höheren Potenzen von æ— a folgt: 40) 1— a.—— 4

ein Resultat, das ebenfalls nur richtigiist, wenn nicht †(a)= O ist. Man sieht auf der Stelle, dass die Gleichung(4) auch aus der Gleichung(3) hergeleitet werden kann, wenn man 5 dem a immer näher kommen lässt, bis es mit ihm zusammenfällt. Die Newton'sche Näherungsmethode in ihrer einfachsten Gestalt ist also dem Princip nach identisch mit der regula falsi in ihrer einfachsten Gestalt. Die Newton'sche Methode kann aber noch dadurch erweitert werden, dass man auch noch die zweite Potenz von— a berücksichtigt; die Wurzel wird dann durch die quadratische Gleichung

0= f(a) †(æ— a) †(a) ℳ †(æ.— a)“ f“(a) 2 15a.(5) bestimmt; das Resultat ist nur dann illusorisch, wenn †ε(a)= 0, wodurch man auf(4) zurückkommt.

Man erhält aber auch nach der Methode der regula falsi eine quadratische Gleichung für æ, wenn man noch einen weiteren Näherungswerth c für æ hinzunimmt. Die 4 Gleichungen(1) können nämlich,