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Setzt man aus 8) den Werth von z in 9) ein, so erhält man:
24= 27)4(pe= 39,(.= 3p?) 4(P— 3°): wo der Zähler gleich der Discriminante ist, die man ohnedies berechnen muss, um über die Anwend- barkeit unserer Methode entscheiden zu können; denn nur dann, wenn dieselbe negativ ist, erhält 9* einen positiven Werth und die drei reellen Wurzeln können auf goniometrischem Wege getunden wer- den. Man berechne also zuerst durch Gleichung 11) die Grösse O und dann durch 10) den Winkel c, alsdann hat man nach Gleichung 3)= Otg, wo„ den ersten Wurzelwerth der Gleichung 9s+ as+†+ 7= O0 bedeutet. Es ist dabei gleichgültig, welches Zeichen man dem O gibt, weil tg 3 F und folglich auch tgF zugleich mit o das Zeichen wechselt nach Gleichung 10. Die zwei noch übrigen reellen Wurzeln findet man durch die Bemerkung, dass in der Gleichung 10) zu der Tangente auf der rechten Seite nicht nur der Winkel 3%, sondern auch die Winkel 180⁰°+%+ 3 und 360°+ℳ 3% gehören; es ist daher e= Otg(600+) und 9.= Otg(120+ ꝓ)=— Otg(600—). Folglich hat man: 2.= 2 otgc, 12) 1æ= 2+ otg(60+), 2.= 2— Otg(600— †). Diesen Resultaten kann man, wenn man will, noch eine andere Form geben, indem man aus Gleichung
11) 0=—
10) den Werth von z, nämlich— 5— otg 39, substituirt. Man bekommt dann:
—— 4—=— 5— iin 2Ph„ 2 in 41 3+ g t 3) 9. Ccos ꝙᷓ cos 3 ꝙ 3 20 c0s 3 —„„ p.(sin 600— 2) 21 6 † olis(z0+ F) s 391=—4 cos(600+) cos 3 ½ 13 sin(120,ℳ 2 G) p sin(60+ G) ) t e ean 3+² cos 3* „ 32— sin(600+ℳ 2) 24= 5 elis(600— 6). ts 561= 3—9cos(605—= 5) cos 3% sin(120°— 2%)—2„sin(600— G) 3 cos(605— ꝓ cos 3 G 3 Cos 3 Diese Formeln werden sehr einfach, wenn die Gleichung eine reducirte, also= 0 ist; es ist nämlich dann: 7y 2*= 271140 tg 39= S32 29˙* 129 2 90 — sin p— sin(600+ ꝙ)—— sin(600—) 41= 26:C039. 282 6083 5 6⸗ 22 cos 3&f
Wenn die Discriminante der gegebenen Gleichung Null ist, so scheint diese Auflösung im Stiche zu lassen, weil dann 0b= 0 und tg 3= O, also 3= 90° oder 270°oder 450°und= 30° oder 90°oder 150° wird, und daher die æ unter der unbestimmten Form 0. o erscheinen. Man hat aber in diesem Falle in der Gleichung ‿ αᷣe&O+†‿ 7= O ausser— 97= 0O noch 6= 0
unl eaen daher:„2(+ a)= 0,.— 497 4. 9 80 dass— 4 ½ 7 7 2.= 2— æ= 2—(32+ p)=—(22+)=— E„ 372
„ 9— 97
und 4, z(r)