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Nachdem man aus der zweiten dieser Gleichungen ò gefunden hat, bestimmt man aus der ersten nach Substitution des Werthes von den Werth von ꝓ.

Der erste der oben mitgetheilten Ausdrücke für æ gibt nun:

(cos.— isin) VO(cos+ 1sin)+. ½—((cos ̃ † isin) V(cos— 1sin †+ 3r. — wenn man VO(cos+ 1sin) † ½p— WO(cos— 1sin ꝓ)+. ½p 0 cos+%= R cos und Osin= R sin%, also O sin 3) 1S 0 cos+† 3%

setzt, und berücksichtigt, dass sich dann im Zähler und Nenner hebt, 9.(os e iin e) VWcos V+ ¹ sin)—(cos+ 1sin ꝓ) Vcos Gr= 1sin„

VCos+ 1 sin ⁰— V cos— i sin Wendet man den Moivre'schen Satz an, welcher in der Schule auch für gebrochene Exponenten-. sich elementar beweisen lässt, etwa wie Schlömilch im Compendium der höheren Analysis I. pag 253 gethan hat, so erhält man daraus:

O1Ceig— i sin ꝙ)(cos x+ 1 sin ½)—(cos+ 1sin p)(cos ½%— din 4 9) cos ½% † i sin ½%—(cos 3%— 1 sin ½ ½%)

und nach Ausführung der Multiplicationen und Reduction:

sin(X%— †) 4)=O e p— Dies ist die eine Wurzel der vorgelegten Gleichung; um die beiden andern zu finden, bedenke man, dass in der Gleichung 3) zu dem dort gefundenen Werthe von tg„ nicht blos der Winkel„, sondern auch die Winkel 180°+ und 360°+ gehören. Man setze daher in 4) nach einander statt die Werthe 60°% und 120°+ zp„, so erhält man: sin(60+ℳ p) 5) 72= 0 sin(60˙+ ½ 9) 4 4 6) 2= 2. Sin(1204 5 P) sin(600— ½+ S) 8* O. Sin(1205— p) O in(605— 5 p)

Wenn man„= O0 nimmt, so wird 3 1r 9cos H,=V= und=, und man erhält für æ die bekannten goniometrischen Ausdrücke wieder. Es wird nämlich: 2— 9 sin 3 a5 2 Ssin x G cos ½½3

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4 sin ½ 0 ain 9 29:089. in(60— 30°— 300— 1—,, 6 60 30⁰ 30⁰. 4=— 29 n dHeet 2) 1)== 20 sin(30°+ ½)= 2 0 cos(600— 9).

Um ein Beispiel für die Anwendung dieser Formeln zu geben, wählen wir die von Matthiessen nach der Gräffe'schen Methode behandelte Gleichung(Schlussel II., pag. 422):

† 2 2— 30+ 39= 0. Hier ist p= 2, 7=— 30, 7= 39, also p*— 37= 94, 4*— 3 pr= 666, pg— 91=— 411; 2