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Da x der Koefficient des zweiten Gliedes der substituierten Funktion 2²— x+‿¶= o ist, so ist— 21+† 2, woraus sich die Cardanische Formel ergiebt.

Alle anderen Methoden zur Lösung der kubischen Gleichungen gehören der neueren Zeit an, weshalb wir dieselbe übergehen. Man findet sie übersichtlich in dem Werke von Matthiessen„Grund- züge der antiken und modernen Algebra“ zusammengestellt.

III. Logarithmen,

Archimedes ¹) war der erste, der in seiner Schrift, die er G'auirhe die Sandrechnung nannte, den Gedanken ausgesprochen, mittels einer arithmetischen Reilie die Glieder einer geometrischen zu bestimmen, um durch Worte die Zahl ausdrücken zu können, welche grösser ist als die Zahl der Sandkörner, die eine Kugel fassen würde, deren Radius die Entfernung des Erdmittelpunktes von dem Fixsternenhimmel ist.

Diese interessante dem König Gelon von Syrakus zugeeignete Schrift²) scheint eine gelegentliche Veranlassung gehabt zu haben. Vielleicht hat in Gelons und Archimedes Gesellschaft jemand behauptet, die Anzahl der auf der Erde vorhandenen Sandkörner lasse sich durch keine Zahl angeben,— dic Grenze der griechischen Zahlwörter war nämlich sehr eng gezogen, wodurch bewogen Archimedes sich jene noch viel umfassendere Aufgabe stellte.

Er sah sich bald genötigt, ein eigentümliches Zahlensystem zu bilden. Doch ist seine Idee noch so wenig klar, dass man von ihm wohl sagen kann, er habe von dem Begriff eines Logarithmus kaum eine Ahnung gehabt, obschon Spuren seiner Betrachtungsweise in späterer Zeit wiederkehren.

Diese Sache blieb auch nach ihm eiauige Zeit unverfolgt, bis endlich im sechzehnten Jahrhundert die Mathematiker anfingen, arithmethische und geometrische Progressionen mit einander zu vergleichen.

Michael Stifel*) gab 1544 seine arithmetica integra, von einer Vorrede Philipp Melanchtons begleitet, heraus, worin eine Vergleichung der geometrischen und arithmetischen Progression vorkommt ⁴). Er hatte erkannt, dass die Glieder der natürlichen Zahlenreihe die Exponenten der entsprechenden Glieder einer geometrischen Progression sind. Er sagt ferner ¹):„Additio in arithmeticis progressionibus respondet multiplicationi in geometricis, subtractio in arithmeticis respondet in geometricis divisioni, divisioni in arithmeticis respondet extractionibus radicum in geometricis. Ut dimidiatio in arithmeticis

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¹) Archimedes, geb. Syrakus 287 v. Chr., gest. Syrakus 212 v. Chr., unstreitig das grösste mathematische Genie des Altertums, der eigentliche Schöpfer der Mathematik und der höheren Geometrie. ²) Nesselmann, die Algebra der Griechen. Pag. 136. ³) Michael Stifel, geb. Esslingen 1487, gest. Jena 1667; erst Mönch, dann pro- testantischer Pfarrer, zuletzt Professor der Mathematik in Jena. ⁴) cf. Montucla, Hist. des sciences mathém. Tom, I., pag. 614. ⁵) Stifel, Arithmetica integra. Lib. II. pag. 155,