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v. Tschirnhausen, ein Zeitgenosse des Leibnitz, schafft alle Glieder einer geordneten Gleichung zwischen dem Gliede der Unbekannten in der höchsten Potenz und dem bekannten Gliede fort¹), so dass schliesslich eine reine Gleichung irgendwelcher Potenz übrig bleibt. Wenn die Gleichung z. B. vom dritten Grade ist,

2+ pe? † 2 T=oI., so setzt man

22+ be+†(ᷣ+ a)= o II. und eliminiert æ aus diesen zwei Gleichungen, man erhält eine Gleichung in x, welche notwendig vom dritten Grade sein und die Form

4* A al Har= o bekommen muss. Nun setzt v. Tschirnhausen A und B= o und bestimmt daraus sowie aus 2³+% C= o die drei Werte von x, alles durch die Koefficienten p„ und r ausgedrückt. Hierauf substituiert er zusammengehörige Werte von a, b und æx in die Gleichungen II. und sucht nachher zwischen den Gleichungen I. und II. den grössten gemeinschaftlichen Teiler in ²2. Dieser der Null gleichgesetzt, giebt dann einen Wert von ⁊, welcher ein Wurzelwert der gegebenen Gleichung ist. Der Erfolg dieser Methode hängt aber davon ab, ob sich die bei den Gleichungen— 0 und B= 0 nach a und 5b auflösen lassen.

Um die Mitte des achtzehnten Jahrhunderts haben Bezout²) und Euler neue Methoden zur Auflösung kubischer Gleichungen gefunden, welche, wie sie glaubten, auch auf höhere Gleichungen angewandt werden können.

Die Bezoutsche Methode ³) unterscheidet sich nur der Form nach von der des v. Tschirnhausen. Denn alle diese Methoden haben schliesslich denselben Ursprung und Verlauf.

Euler¹) nahm an, dass die Wurzelwerte der Gleichungen vom dritten Grade die Form haben müssen

4 Va. B(/2) Seine Methode ist im wesentlichen folgende ⁵). Wenn die Gleichung 7 p2 † 1— o I. aukaulösen ist,

so setzt er. 2½— 4* B 0 2)*;

bezeichnet man nun die drei Werte von„1 durch 2e, 2ν, und(oder 1), so erhält man für die drei Werte von 2

¹) Methodus auferendi ommes terminos intermedios ex data aequatione Act. erud. Lips. 1683. ²) Etienne Bézout, geb. Nemour 1730, gest. Gatinois 1783. Examinator und Akademiker in Paris. ³) Bézout. Mém. sur la résolution générale des équations de tous les degrés. Mém. Par. pour Pannée 1765. cf. auch Blomstrand, de meth. praec. pag. 42. ⁴) Leonhard Euler, geb. Basel 1707, gest. Petersburg 1783, war vielleicht der grösste, jedenfalls aber der fruchtbarste Mathematiker des vorigen Jahrhunderts; obschon er 1735 an einem, 1766 auch am zweiten Auge erblindete, würde eine Gesamtausgabe seiner Werke und Abhandlungen etwa 16000 Quartseiten füllen. Euler sfand 1727— 1741 als Akademiker und Professor in Petersbnrg, folgte dann einem Rufe in entsprechende Stellung nach Berlif und kehrte 1766 nach Petersburg zurlick. ⁵) De resolutione aeduationum cuiusvis gradus Nov. Commer. Acad. Petrop. Tom. IX., 1764. cf. auch Blomstrand, de methodis praecipuis etc. pag. 36.