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Newton verfährt folgendermassen. Hat man z. B. die Gleichung 2³— 5— 7+ 15= 0, so liegt eine Wurzel derselben zwischen 1 und 2, denn für= 1 wird der Wert der Gleichung nicht gleich o, sondern+ 4 und für= 2, wird der Wert gleich— 11. Nun muss aber bei einem stetigen Übergang von= 1 bis= 2 notwendig der Wert der Gleichung einmal Null werden, denn nur, wenn er durch Null gegangen ist, kann er sein Vorzeichen in das entgegenges etzte verändern. Setzt man jetzt æ= 1+ h, wo das h dasjenige bedeutet, um was der Wert x᷑= 1 sich von der wahren Wurzel unterscheidet, so erhält man die Gleichung: (àh+ 1¹)3— 5 G+ 1¹)²2— 7h+ 1)+ 15= 0 oder hi— 2 ½2— 14 ½+ 4= 0. Da nun hI ist, so erhält man, indem man die zweite und dritte Potenz von 7 vernachlässigt — 14 h+ 4= oder h==/7= 0,285, also= 1,285. Setzt man jetzt anstatt æ den Wert 1,285 um und verfährt auf gleiche Weise, so kann man sich dem wahren Wert der Wurzel beliebig nähern. Dieses von Newton herrührende Verfahren wird im Verlauf der Rechnung immer mühevoller, aber durch Verbesserung dieser Methode durch Horner ¹) u. a. ist die Rechnung auf ein Minimum reduciert worden. Von Leibnitz, welcher sich ebenfalls mit der Auflösung der höheren Gleichungen beschäftigt hat, kennt man eine Methode, die Wurzeln der kubischen Gleichung im irreduciblen Falle zu finden. Seine Arbeiten hierüber sind nie veröffentlicht worden; wir wissen davon nur aus einem seiner Briefe ²) an Collins. Seine Methode besteht darin, dass er die beiden Kubikwurzeln in der cardanischen Formel in unendliche Reihen entwickelt, in denen sich die imaginären Glieder aufheben; es bleibt also nur noch übrig, die sich ergebende Reihe mit reellen Gliedern zu summieren. Wohl die einfachste aller Methoden, die man für die Auflösung kubischer Gleichungen kennt, ist diejenige von Hudde ³). Er geht von der reducierten Gleichung ¹) ⁊ᷣ+‿. x+†‿2— IJ. aus und setzt-= S+, worin„ eine neue Veränderliche und ⁊2 eine Funktion von„ ist. Nan

erhält aus I. G+ 2)“+ p G+ 2)+ 2— II. oder G+ς1 ½η+‿ G+ 2)(3+ p)= o. III. Wählt man ⸗ so, dass 3 A b=e wird, also ½=— 85 so geht Gleichung III. über in 3 A 3— 2—. 9 Ae eoller 53 6 34—1— 5o 5,= Hat man aus dieser Gleichung bestimmt, so erhält man 2= †. P. 3 9

1¹) Caspar Horner, geb. Zürich 1774, gest. Zürich 1834. Astronom auf der Weltreise Krusensterns, dann Prof. der Mathematik in Zürich. cf. Phil. Trans. London 1819. ²) cf. Commerc. epist. pag. 63. ³) Hudde, geb. 16.. gest. Amsterdam 1705. Consul und Bürgermeister daselbst. 4) Joh. Huddenii Epist. I. de reductione aequa- tionum. Regula XXI. exempl. 4. Amsterdam 1658.