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lichen Wurzeln sich immer doppelt vorfinden. Jedoch darf man nicht glauben, dass schon Cardanus die Auflösung der kubischen Gleichungen so allgemein dargestellt habe, wie dies jetzt geschieht. Vieta, von dem wir bei den quadratischen Gleichungen gesagt haben, dass er durch ge-

eignete Substitution ¹) die Gleichung zu reducieren sucht, betrachtet nur die beiden Formen der kubi- schen Gleichung:

I.+‿ 3 br= 2 e und

II. 23= 3 2 G 5— 22

und giebt deren Auflösung. Im ersten Falle setzt er zur Reduktion ⸗2ε+‿ σQe e— b oder a= 3

man erhält dadurch

63— 30222 3 524— 2 3 52— 3 52² 6 3 7. 2,

oder 416+. 2 c⸗= 53. Damit ist die Reduktion des Problems gefunden. Bei Gleichung II

3— 3 be= 2 G „2 setzt Vieta=

; hieraus ergiebt sich:

2 c2 26— 53, also auch eine Gleichung, die sich wie eine quadratische auflösen lässt. Zugleich geht hervor, dass G.2 b3 sein muss.

Zur Zeit der Erfindung und ersten Ausbildung der Infinitesimalrechnung trat die Theorie der algebraischen Gleichungen etwas mehr in den Hlintergrund; doch verdanken wir Leibnitz²), New- ton¹), v. Tschirnhausen u. a. einige wichtige Sätze, besonders über die Anzahl und Grenzen der reellen und imaginären Wurzeln einer Gleichung.

Zur Ermittlung der Zahl der Wurzeln gab Newton eine nicht vollständig genügende Regel ⁴), mit deren Vervollkommnung und Beweis sich später noch Maclaurinb), Stirling⁰) und de Gua?) beschäftigten. Newton fand die Wurzeln einer Gleichung durch Näherung, eine Methode, welche ver- lassen und wieder aufgenommen, jetzt vielfach verbessert diejenige ist, welche vielleicht am schnellsten und leichtesten zum Ziele führt. Es gehört dazu, dass man eine obere und eine untere Grenze, zwischen denen die Wurzeln liegen, aufgefunden habe.

¹) Vieta, de aequationum recognitione et emendatione. Tract. II, Cap. VII und Beaune, de' aequationum natura. Cap. XV. Frankfurt 1695. ²) Wilhelm Leibnitz, geb. Leipzig 1646, gest. Hannover 1716. Rat. Bibliothekar und Historiograph des Herzogs von Hannover, wurde 1673 Mitglied der Royal Society, 1699 gleichzeitig mit Newton, Jakob und Johann Bernoulli, Tschirnhausen u. a. auswärtiges Mitglied der Pariser Akademie und 1700 Präsident der auf seine Veranlassung in Berlin gegründeten Akademie der Wissenschaften. ³) Isak Newton, geb. zu Whoolstorpe 1642, gest. London 1726 bezog 1660 das Trinity-College in Cambridge, rückte 1669 zum Professor der Mathematik an demselben und 1699 zum königl. Münzmeister in London vor und pekleidete überdies von 1703 das Präsidium der Royal Society. ⁴) Newton, Arithmetica universalis. Tom I., pag. 252— 57. 5⁵) Colin Maclaurin, geb. Kilmoddon 1698, gest. Vork 1746, Professor der Mathematik in Aberdeen und Edinburgh. Philosoph Transactions 1726— 29. ¹⁶) Stirling, geb. 1696, gest. 1770. ⁷) Gua de Malves, geb. Carcasonne 1714, gest. Paris. 1785, Prior von St. Georg de Vigon, Mitglied der Pariser Akademie. Memoires de'Académie de Paris 1741.